Ortonormalnost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Z \mathcal{V} označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev

 \left\{ u_1 , u_2 , \ldots , u_n , \ldots \right\} \in \mathcal{V}

je ortogonalna, če in samo, če velja

 \forall i,j : \langle u_i , u_j \rangle = \delta_{ij}

kjer je

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • če je  e_1, e_2, \dots, e_n \, skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja
||a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n||^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + \cdots + |a_n|^2

Primeri[uredi | uredi kodo]

Dvorazsežni Kartezični koordinatni sistem[uredi | uredi kodo]

Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta  u = (x_1, y_1) \, in  u = (y_2, y_2) \,. Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja:

To lahko zapišemo kot

  1. x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 \quad
  2. \sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2} = 1
  3. \sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2} = 1.

Kar pomeni, da je  r_1 = r_2 = 1 \,. Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Postopek ortogonalizacije množice vektorjev v prostoru notranjih produktov se imenuje Gram-Schmidtov postopek. Običajno se to izvaja v Evklidskem prostoru  R^n \, z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.

Standardna baza[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Standardna baza.

Standardna baza v koordinatnem prostoru  F^n \, je  { e_1, e_2, \dots, e_n }\, kjer je

  •  e_1 = (1, 0, \dots, 0) \,
  •  e_2 = (0, 1, \dots, 0) \,
.
.
  •  e_n = (0, 0, \dots, 1) \,

Katerakoli dva vektorja  e_i \, in  e_j \,, ki imata  i \ne j \, sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]