Weylova enačba

Weylova enáčba [véjlova ~] je v fiziki in še posebej v kvantni teoriji polja relativistična valovna enačba, ki opisuje brezmasne dvokomponentne delce s polovičnim spinom (1/2), imenovane Weylovi fermioni. Imenuje se po Hermannu Weylu, ki jo je uvedel leta 1929. Weylovi fermioni so ena od treh možnih vrst osnovnih fermionov, drugi dve pa so Diracovi in Majoranovi fermioni. Diracov fermion sam sebi ni antidelec in ima električni naboj, Majoranov fermion pa je sam sebi antidelec in je brez naboja. V naravi Majoranovih fermionov še niso našli.

Noben od osnovnih delcev v standardnem modelu fizike delcev ni Weylov fermion. Pred potrditvijo nevtrinskih oscilacij je veljalo, da bi bil nevtrino lahko Weylov fermion (zdaj se pričakuje, da bo bodisi Diracov ali Majoranov fermion). V fiziki kondenzirane snovi lahko nekateri materiali prikazujejo kvazidelce, ki se obnašajo kot Weylovi fermioni, kar vodi do pojma Weylovih polkovin.

Matematično je mogoče kateri koli Diracov fermion razstaviti kot dva Weylova fermiona nasprotne kiralnosti, povezana z masnim členom.

Zgodovina

Diracovo enačbo je leta 1928 objavil Paul Dirac in je bila prvič uporabljena za modeliranje delcev s spinom ½ v okviru relativistične kvantne mehanike. Weyl je svojo enačbo objavil leta 1929 kot poenostavljeno različico Diracove enačbe. Wolfgang Ernst Pauli je leta 1933 pisal proti Weylovi enačbi, ker je kršila parnost: »Medtem te valovne enačbe, kot je razvidno iz njihove izpeljave, niso invariantne. Zrcaljenja (izmenjava leve in desne) in posledično enačbe niso uporabne za fizično realnost.«. Vendar je sam tri leta pred tem napovedal obstoj novega osnovnega fermiona – nevtrina, da bi pojasnil razpad β, ki je bil na koncu opisan z uporabo Weylove enačbe.

Leta 1937 je Conyers Herring predlagal, da lahko Weylovi fermioni obstajajo kot kvazidelci v kondenzirani snovi.

(Elektronske) nevtrine $\nu _{\rm {e}}\!\,$ sta eksperimentalno opazila Clyde Lorrain Cowan in Frederick Reines leta 1956 kot delce z izredno majhnimi masami (in zgodovinsko so včasih celo mislili, da so brez mase). Istega leta je Wujin poskus pokazal, da bi parnost lahko porušila šibka interakcija, s čimer je odgovoril na Paulijevo kritiko. Temu je leta 1958 sledila meritev vijačnosti (sučnosti, spiralnosti) nevtrina Mauricea Goldhaberja, Leeja Grodzinsa in Andrewa Williama Sunyarja. Meritev je pokazala, da je nevtrino levosučni delec in tako je njegove polje $\nu _{\rm {L}}(x)\!\,$.

Z vidika tedanje dvokomponentne teorije nevtrinov je velika kršitev parnosti v razpadu β in drugih leptonskih procesih povezana z brezmasnim nevtrinom. To stališče se je spremenilo, ko so Richard Phillips Feynman in Murray Gell-Mann, ter neodvisno Ennackal Chandy George Sudarshan in Robert Eugene Marshak, leta 1958 predlagali teorijo V-A, ki je temeljila na predpostavki, da v Hamiltonovi funkciji šibke interakcije vstopajo levosučne komponente vseh polj. To pomeni da kršitev parnosti v šibki interakciji ni povezana z izjemnimi značilnostmi nevtrinov. Obstajajo tudi drugi razlogi za levosučna polja v Hamiltonovi funkciji. Po teoriji V-A je bilo naravno obrniti se na argumente in obravnavati nevtrino kot delec z od nič različno maso. Kljub temu je bila tedanja dvokomponentna teorija nevtrinov lepa in najpreprostejša teoretična možnost. Bila je v popolnem dogovoru z mnogimi poskusi raziskovanja šibkih procesov. Ker tako poskusi niso pokazali nobenih znakov mase nevtrina, se je ponovno pojavilo zanimanje za Weylovo enačbo. Tako je bil tudi standardni model zgrajen ob predpostavki, da so nevtrini Weylovi fermioni.

Lev Davidovič Landau, Tsungdao Lee ter Čen Ning Franklin Jang in Abdus Salam so predlagali, da bi se nevtrino opisal z dvokomponentnim Weylovim spinorjem $\psi _{\rm {R}}\!\,$ ali $\psi _{\rm {L}}\!\,$ (teorija dvokomponentnih nevtrinov). Landau je izhajal iz domneve invariantnosti CP in domneval, da je nevtrino Weylov delec, saj so Weylove enačbe invariantne glede na transformacijo CP.

Analog Weylovih enačb za brezmasni delec s spinom 1 (foton) so Maxwellove enačbe v Majoranovi obliki.

Medtem ko je italijanski fizik Bruno Pontecorvo leta 1957 predlagal možnost nevtrinskih mas, mešanj in nevtrinskih oscilacij, je nevtrinski detektor Super-Kamiokande šele leta 1998 potrdil obstoj nevtrinov in njihovo od nič različno maso. To odkritje je potrdilo, da Weylova enačba ne more popolnoma opisati širjenja nevtrinov, saj lahko enačbe opišejo le brezmasne delce.

Leta 2015 so prvo Weylovo polkovino eksperimentalno potrdili v kristalinskem tantalovem arzenidu (${\ce {TaAs}}$) v sodelovanju skupin M. Zahida Hasana z Univerze Princeton in Hong Dinga s Kitajske akademije znanosti. Neodvisno je istega leta skupina Marina Soljačića z MIT prav tako opazovala Weylu podobna vzbujanja v fotonskih kristalih.

Enačba

Weylova enačba se pojavlja v dveh oblikah. Desnosučno obliko se lahko zapiše na naslednji način:

$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0\!\,.$

Če se enačba razširi in vstavi hitrost svetlobe $c\!\,$, ima obliko:

$I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0\!\,,$

kjer je:

$\sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}\!\,$

vektor, katerega komponente so enotska matrika 2×2 $I_{2}\!\,$ za $\mu =0\!\,$ in Paulijeve matrike za $\mu =1,2,3\!\,$, $\psi \!\,$ pa je valovna funkcija – eden od Weylovih spinorjev. Levosučna oblika Weylove enačbe se po navadi zapiše kot:

${\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0\!\,,$

kjer je:

${\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}\!\,.$

Rešitvi desno in levosučne Weylove enačbe sta različni: imata desno in levosučno vijačnost oziroma s tem kiralnost. Primerno je, da se to izrecno navede, kot sledi: $\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\!\,$ in ${\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0\!\,$.

Rešitve za ravninsko valovanje

Rešitve za ravninsko valovanje Weylove enačbe se imenujejo levo in desnosučni Weylovi spinorji in vsak ima dve komponenti. Obe imata obliko:

$\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }\!\,,$

kjer je:

$\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}\!\,$

od gibalne količine odvisen dvokomponentni spinor, za katerega velja:

$\sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0\!\,$

ali:

${\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0\!\,.$

Z neposrednim izračunom se dobi;

$\left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0\!\,,$

kar nakazuje, da enačbe odgovarjajo delcu brez mase. Kot rezultat je velikost gibalne količine $\mathbf {p} \!\,$ neposredno povezana z valovnim vektorjem $\mathbf {k} \!\,$ prek de Brogliejevih zvez kot:

$|\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}\!\,.$

Enačba se lahko zapiše s členi levo in desnosučnih spinorjev kot:

${\begin{aligned}\sigma {^{\mu }}\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\!\,.\end{aligned}}$

Vijačnost

Leve in desne komponente odgovarjajo vijačnosti $\lambda \!\,$ delcev, projekciji operatorja vrtilne količine $\mathbf {J} \!\,$ na linearno gibalno količino $\mathbf {p} \!\,$:

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle \!\,.$

Tu je ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}\!\,}$.

Lorentzeva invariantnost

Obe enačbi sta invariantni po Lorentzu pod Lorentzevo transformacijo $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x\!\$, kjer je $\Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)\!\,$. Enačbi se točneje transformirata kot:

$\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\!\,,$

kjer je $S^{\dagger }$ is the hermitska transponirana matrika pod pogojem, da se desnosučno polje transformira kot:

$\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)\!\,.$

Matrika $S\in SL(2,\mathbb {C} )\!\,$ je povezana z Lorentzevo transformacijo s pomočjo pokrivanja Lorentzeve grupe s specialno linearno grupo $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\!\,$, ki je dana z:

$\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}\!\,.$

Zato, če netransformirani diferencial izgine v enem Lorentzevem okviru, izgine tudi v drugem. Podobno:

${\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\!\,$

pod pogojem, da se levosučno polje transformira kot:

$\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)\!\,.$

Dokaz: Nobena od teh transformacijskih značilnosti ni na noben način »očitna«, zato si zasluži skrbno izpeljavo. Začeti je treba z obliko:

$\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)\!\,$

za poljubni neznani $R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\!\,$, ki ga je treba določiti. Lorentzeva transformacija v koordinatah je:

$x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }\!\,$

ali enakovredno:

$x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }\!\,.$

To da:

${\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\!\,.\end{aligned}}$

Da bi se lahko uporabila Weylova preslikava:

$\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}\!\,,$

je treba nekaj indeksov dvigniti in spustiti. To je lažje reči, kot narediti, saj to zahteva enakost:

$\eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\!\,,$

kjer je $\eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)\!\,$ metrika Minkowskega za ravni prostor. Zgornja enakost se velikokrat rabi za definicijo elementov $\Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)\!\,$. Vzeti je treba transponirano matriko:

${\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\!\,$,

da se zapiše:

${\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\!\,.\end{aligned}}$

Tako se pridobi prvotna oblika, če velja $S^{-1}R=1\!\,$, oziroma $R=S.$ Če se izvede enake račune za levosučno enačbo, se dobi:

$\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)\!\,$

z $L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\!\,$.

Povezava z Majorano

Weylova enačba se običajno pojasnjuje kot opis brezmasnega delca. Vendar pa se lahko z rahlo spremembo dobi dvokomponentno različico Majoranove enačbe. To nastane ker je specialna linearna grupa $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\!\,$ izomorfna simplektični grupi $\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\!\,$. Simplektična grupa je definirana kot množica vseh kompleksnih matrik 2×2 za katere velja:

$S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega \!\,,$

kjer je:

$\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\!\,.$

Določujoče razmerje je mogoče prepisati kot $\omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \!\,$, kjer je $S^{*}\!\,$ kompleksna konjugirana matrika. Desnosučno polje, se, kot je omenjeno prej, transponira kot:

$\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)\!\,$

in tako se kompleksno konjugirano polje transformira kot:

$\psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)\!\,.$

Z uporabo definirajočega razmerja se lahko sklepa, da velja:

$m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\!\,,$

kar je točno enaka značilnost Lorentzeve kovariantnosti, omenjene prej. Tako se linearna kombinacija z uporabo poljubnega kompleksnega faznega faktorja $\eta =e^{i\phi }\!\,$:

$i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\!\,$

transformira na kovariantni način – če se to nastavi na nič, se dobi kompleksno dvokomponentno Majoranovo enačbo. Majoranova enačba se običajno zapiše kot štirikomponentna realna enačba namesto dvokomponentne kompleksne enačbe. Zgoraj je mogoče enačbo prenesti v štirikomponentno obliko (za podrobnosti glej tisti članek). Podobno je levokiralna Majoranova enačba (vključno s poljubnim faznim faktorjem $\zeta \!\,$) enaka:

$i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0\!\,.$

Kot je že bilo omenjeno, sta leva in desna kiralna različica povezani s transformacijo parnosti. Poševni kompleksni konjugat $\omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi \!\,$ je mogoče prepoznati kot nabojno konjugirano obliko $\psi \!\,$. Tako se lahko Majoranovo enačbo bere kot enačbo, ki povezuje spinor z njegovo nabojno konjugirano obliko. Dve različni fazi na masnem členu sta povezani z dvema različnima lastnima vrednostima operatorja nabojne konjugacije – za podrobnosti glej simetrija C in Majoranova enačba.

Naj je definiran par operatorjev, Majoranovih operatorjev:

$D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\!\,$

kjer je $K\!\,$ kratkoročni opomnik, da se vzame kompleksni konjugat. Pod Lorentzevimi transformacijami se operatorja transformirata kot:

$D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}\!\,,$

kjer se Weylova spinorja transformirata kot:

$\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}\!\,,$

kakor zgoraj. Tako so njune ujemajoče se kombinacije kovariantne po Lorentzu in jih je mogoče vzeti kot par kompleksnih 2-spinorskih Majoranovih enačb:

$D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0\!\,.$

Produkta $D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}\!\,$ in $D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}\!\,$ sta oba kovariantna po Lorentzu. Produkt je eksplicitno enak:

$D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)\!\,.$

Za preverjanje tega je treba upoštevati, da velja $\omega ^{2}=-1\!\,$ in $Ki=-iK\!\,$. Desna stran se reducira na Klein-Gordonov operator pod pogojem, da velja $\eta \zeta ^{*}=1\!\,$, oziroma $\eta =\zeta \!\,$. Ta dva Majoranova operatorja sta torej »kvadratna korena« Klein-Gordonovega operatorja.

Lagrangeeve gostote

Enačbe se dobijo iz Lagrangeevih gostot:

${\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}\!\,,$

${\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}\!\,.$

Če se obravnava spinor in njegov konjugat (označen z $\dagger \!\,$) kot neodvisni spremenljivki, se dobi ustrezna Weylova enačba.

Weylovi spinorji

Izraz Weylov spinor se pogosto uporablja tudi v splošnejšem okolju, kot element Cliffordovega modula. To je tesno povezano z zgoraj navedenimi rešitvami in daje naravno geometrijsko interpretacijo spinorjev kot geometrijskih objektov, ki živijo na mnogoterosti. Ta splošna nastavitev ima več prednosti: razjasni njihovo interpretacijo kot fermionov v fiziki in natančno pokaže, kako definirati spin v splošni teoriji relativnosti ali pravzaprav za katerokoli Riemannovo ali psevdoriemannovo mnogoterost. To je neformalno nakazano na naslednji način.

Weylova enačba je invariantna glede na delovanje Lorentzeve grupe. To pomeni, da se oblika same enačbe ne spremeni, ko se uporabijo potiski in vrtenja. Vendar pa se oblika spinorja $\psi \!\,$ sama spreminja. Če v celoti zanemari prostor-čas, je algebra spinorjev opisana s (kompleksirano) Cliffordovo algebro. Spinorji se transformirajo pod delovanjem spinske grupe. To je povsem analogno temu, kako bi se lahko govorilo o vektorju in kako se transformira pod grupo vrtenj, le da je zdaj prilagojena primeru spinorjev.

Za dano poljubno psevdoriemannovo mnogoterost $M\!\,$ z razsežnostjo $(p,q)\!\,$ se lahko obravnava njen tangentni sveženj $TM\!\,$. V poljubni dani točki $x\in M\!\,$ je tangentni prostor $T_{x}M\!\,$ $(p,q)\!\,$ razsežni vektorski prostor. Na takšnem vektorskem prostoru je mogoče skonstruirati Cliffordovo algebro $\mathrm {Cl} (p,q)\!\,$. Če so $\{e_{i}\}\!\,$ baze vektorskega prostora na $T_{x}M\!\,$, se lahko skonstruira par Weylovih spinorjev kot:

$w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)\!\,$

in:

$w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)\!\,.$

Če se pravilno preučita v luči Cliffordove algebre, sta naravno antikomutativna, kar pomeni, da velja $w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}\!\,$. To se lahko pojasni kot matematična realizacija Paulijevega izključitvenega načela, kar omogoča, da se te abstraktno definirane formalne strukture pojasnjujejo fermioni. Za $(p,q)=(1,3)\!\,$ razsežni prostor-čas Minkowskega sta možna samo dva takšna spinorja, po dogovoru označena kot »levi« in »desni«, kot je opisano zgoraj. Bolj formalno, splošno predstavitev Weylovih spinorjev se lahko najde v članku o spinski grupi.

Abstraktno, splošno-relativistično obliko Weylove enačbe je mogoče razumeti na naslednji način: nad dano psevdoriemannovo mnogoterost $M\!\,$ se sestavi vlakenski sveženj s spinsko grupo kot vlaknom. Spinska grupa $\mathrm {Spin} (p,q)\!\,$ je dvojno pokritje specialne ortogonalne grupe $\mathrm {SO} (p,q)\!\,$, tako da se lahko identificira spinsko grupo po vlaknih s svežnjem okvirja nad $M\!\,$. Ko je to storjeno, se nastala struktura imenuje spinska struktura.

Izbira ene same točke na vlaknu ustreza izbiri krajevnega opazovalnega sistema za prostor-čas; dve različni točki na vlaknu sta povezani z (Lorentzevim) potiskom/vrtenjem, to je s krajevno spremembo koordinat. Naravni prebivalci spinske strukture so Weylovi spinorji, saj spinska struktura popolnoma opisuje, kako se spinorji obnašajo pod (Lorentzevimi) potiski/vrtenji.

Glede na spinsko mnogoterost je analog metrične povezanosti spinska povezanost – to je dejansko »ista stvar« kot običajna povezanost, samo s spinskimi indeksi, ki so ji pridani na dosleden način. Kovariantni odvod se lahko definira glede na povezanost na povsem običajen način. Na Cliffordov sveženj deluje naravno – Cliffordov sveženj je prostor, v katerem živijo spinorji. Splošno raziskovanje takšnih struktur in njihovih odnosov se imenuje spinska geometrija.

Matematična definicija

Glej tudi: klasifikacija Cliffordovih algeber

Za sodi $n\!\,$ je soda podalgebra $\mathbb {C} l^{0}(n)\!\,$ kompleksne Cliffordove algebre $\mathbb {C} l(n)\!\,$ izomorfna $\mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}\!\,$, kjer je $N=2^{n/2}\!\,$. Levosučni (oziroma desnosučni) kompleksni Weylov spinor v $n\!\,$-razsežnem prostoru je element $\Delta _{n}^{+}\!\,$ (oziroma $\Delta _{n}^{-}\!\,$).

Posebni primeri

Obstajajo trije pomembni posebni primeri, ki jih je mogoče sestaviti iz Weylovih spinorjev. Eden je Diracov spinor, ki se ga lahko razume kot par Weylovih spinorjev, enega levosučnega in enega desnosučnega. Ta sta povezana tako, da predstavljata električno nabito fermionsko polje. Električni naboj nastane, ker se Diracovo polje transformira pod delovanjem kompleksirane spinske grupe $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\!\,$. Ta grupa ima strukturo:

$\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}\!\,,$

kjer je $S^{1}\cong \mathrm {U} (1)\!\,$ krožnica in se lahko identificira kot $\mathrm {U} (1)\!\,$ iz elektromagnetizma. Produkt $\times _{\mathbb {Z} _{2}}\!\,$ je samo priročen zapis, ki označuje produkt $\mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}\!\,$ z nasprotnima točkama $(s,u)=(-s,-u)\!\,$, kar nakazuje (dvojno pokritje).

Majoranov spinor je spet par Weylovih spinorjev, vendar sedaj razporejen tako, de je levosučni spinor nabojno konjugiran z desnosučnim spinorjem. Rezultat je polje z dvema prostostnima stopnjama manj kot Diracov spinor. Ne more interagirati z elektromagnetnim poljem, saj se transformira kot skalar pod delovanjem grupe $\mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }\!\,$. To pomeni, da se transformira kot spinor, vendar prečno, tako da je invarianten pod delovanjem $\mathrm {U} (1)\!\,$ spinske grupe.

Tretji posebni primer je spinor ELKO, skonstruiran podobno kot Majoranov spinor, razen z dodatnim znakom minus med parom nabojnega konjugata. Zaradi tega je spet električno nevtralen, vendar uvaja številne druge precej presenetljive značilnosti.

Viri

• Abers, Ernest Stephen, ur. (2004), Quantum Mechanics, Addison Wesley, Prentice Hall Inc, COBISS 10266674, ISBN 978-0-13-146100-0
• Aguilar-Arevalo, Alexis; Bietenholz, Wolfgang (2015), »Neutrinos: Mysterious Particles with Fascinating Features, which led to the Physics Nobel Prize 2015«, Revista Cubana de Física, 32 (2): 127–136, arXiv:1601.04747, Bibcode:2016arXiv160104747A, doi:10.48550/arXiv.1601.04747, ISSN 2224-7939, pridobljeno 28. septembra 2023
• Ahiezer, Aleksander Iljič; Berestecki, Vladimir Borisovič (1981), Квантовая электродинамика, Moskva: Nauka
• Aste, Andreas (2010), »A direct road to Majorana fields«, Symmetry, MDPI, 2010 (2): 1776–1809, doi:10.3390/sym2041776, ISSN 2073-8994
• Barčot, Doris (16. marec 2022). Majorana fermioni (diplomska naloga) (v hrvaščini). Reka: Oddelek za fiziko, Fakulteta za fiziko, Univerza na Reki. Pridobljeno 27. septembra 2023.
• Bilenki, Samoil Miheljevič (2005), »The history of neutrino oscillations«, Physica Scripta, T121: 17–22, arXiv:hep-ph/0410090, Bibcode:2005PhST..121...17B, doi:10.1088/0031-8949/2005/T121/001, ISSN 0031-8949, S2CID 119341278
• Feynman, Richard Phillips; Gell-Mann, Murray (1. januar 1958), »Theory of the Fermi Interaction«, Physical Review, 109 (1): 193–198, doi:10.1103/PhysRev.109.193
• Goldhaber, Maurice; Grodzins, Lee; Sunyar, Andrew William (1958), »Helicity of Neutrinos«, Physical Review, 109 (3): 1015–1017, doi:10.1103/PhysRev.109.1015
• Herring, Conyers (15. avgust 1937), »Accidental Degeneracy in the Energy Bands of Crystals«, Physical Review, 52: 365–373, doi:10.1103/PhysRev.52.365
• Inoue, Atsushi (13. april 2015), Lectures on Super Analysis -- Why necessary and What's that?, arXiv:1504.03049, Bibcode:2015arXiv150403049I, doi:10.48550/arXiv.1504.03049
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (Universitext) (3. izd.), Berlin: Springer, COBISS 14147929, ISBN 978-3-540-42627-1, OCLC 48177040
• Landau, Lev Davidovič (Marec 1957), »On the conservation laws for weak interactions«, Nuclear Physics, 3 (1): 127–131, doi:10.1016/0029-5582(57)90061-5
• Lee, Tsungdao; Jang, Čen Ning Franklin Jang (1. marec 1957), »Parity Nonconservation and a Two-Component Theory of the Neutrino«, Physical Review, 105 (5): 1671, doi:10.1103/PhysRev.105.1671
• Medveš, Rok (2019), »Gugalnični mehanizmi«, Matrika, 6 (1): 1–12, COBISS 3328356, ISSN 2385-8567, pridobljeno 28. septembra 2023
• Nielsen, Holger Bech; Rugh, Svend Erik (3. julij 1994), Why Do We Live in 3+1 Dimensions?, arXiv:hep-th/9407011, doi:10.48550/arXiv.hep-th/9407011
• Pal, Palash Baran (2011), »Dirac, Majorana, and Weyl fermions«, American Journal of Physics (v angleščini), 79 (5): 485–498, arXiv:1006.1718, Bibcode:2011AmJPh..79..485P, doi:10.1119/1.3549729, ISSN 0002-9505, S2CID 118685467
• Pauli, Wolfgang Ernst (4. december 1930), Dear radioactive ladies and gentlemen. Neobjavljeno, reproducirano v: Brown, Laurie M. (1978), »The idea of the neutrino«, Physics Today, 31 (9): 23–28, Bibcode:1978PhT....31i..23B, doi:10.1063/1.2995181
• Pauli, Wolfgang Ernst (1933), »Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik«, Handbuch der Physik, zv. 24 (2. izd.), Geiger und Scheel
• Peskin, Michael Edward; Schroeder, Daniel V. (1995), An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, COBISS 3664167, ISBN 0-201-50397-2 – prek Google Books.
  • Peskin, Michael Edward; Schroeder, Daniel V. (4. maj 2018), An Introduction To Quantum Field Theory (v angleščini) (2. izd.), CRC Press, ISBN 978-0-429-97210-2
• Salam, Abdus (Januar 1957), »On parity conservation and neutrino mass«, Nuovo Cimento, 5 (1): 299–301, Bibcode:1957NCim....5..299S, doi:10.1007/BF02812841
• Straumann, Norbert (1996), Early History of Gauge Theories and Weak Interactions, arXiv:hep-ph/9609230, doi:10.48550/arXiv.hep-ph/9609230
• Sudarshan, Ennackal Chandy George; Marshak, Robert Eugene (1957), The Nature of the Four-Fermion Interaction (PDF), (Padua Conference on Mesons and Recently Discovered Particles), str. 1860–1862, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 16. junija 2012
• Sudarshan, Ennackal Chandy George; Marshak, Robert Eugene (1958), »Chirality Invariance and the Universal Fermi Interaction«, Physical Review, 109 (5): 1860–1862, doi:10.1103/PhysRev.109.1860.2
• Šifman, Mihail Arkadjevič (1999), ITEP Lectures on Particle Physics and Field Theory, zv. 1, str. 292, ISBN 978-9-810-23948-0
• Vishwanath, Ashvin (8. september 2015), »Where the Weyl things are«, APS Physics (v angleščini), 8: 84, ISSN 1943-2879, pridobljeno 22. novembra 2018
• Weyl, Hermann (15. april 1929), »Gravitation and the electron«, Proceedings of the National Academy of Sciences (v angleščini), 15 (4): 323–334, Bibcode:1929PNAS...15..323W, doi:10.1073/pnas.15.4.323, ISSN 0027-8424, PMC 522457, PMID 16587474
  • Weyl, Hermann (Maj 1929), »Elektron und Gravitation«, Zeitschrift für Physik, 56: 330–352, doi:10.1007/BF01339504
• Woan, Graham, ur. (2010), The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press, COBISS 3399012, ISBN 978-0-521-57507-2
• Wu, Chien-Shiung; Ambler, Ernest; Hayward, Raymond Webster; Hoppes, Dale Dubois; Hudson, Ralph P. (1957), »Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay«, Physical Review, 105 (4): 1413–1415, Bibcode:1957PhRv..105.1413W, doi:10.1103/PhysRev.105.1413

Nadaljnje branje

• Ciudad, David (20. avgust 2015), »Massless yet real«, Nature Materials, 14 (9): 863, doi:10.1038/nmat4411, ISSN 1476-1122, PMID 26288972
• Jia, Shuang; Xu, Su-Yang; Hasan, M. Zahid (25. oktober 2016), »Weyl semimetals, Fermi arcs and chiral anomaly«, Nature Materials, 15 (11): 1140–1144, arXiv:1612.00416, Bibcode:2016NatMa..15.1140J, doi:10.1038/nmat4787, PMID 27777402, S2CID 1115349
• Johnston, Hamish (23. julij 2015), »Weyl fermions are spotted at long last«, Physics World (v angleščini), pridobljeno 22. novembra 2018
• LaBelle, Patrick (2010), Supersymmetry Demystified, ZDA: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-163641-4 – prek Google Books
• McMahon, David (2008), Quantum Field Theory Demystified, ZDA: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-154382-8
• Martin, Brian Robert; Shaw, Graham (2008), Particle Physics, (Manchester Physics) (2. izd.), John Wiley & Sons, COBISS 30031109, ISBN 978-0-470-03294-7
  • Martin, Brian Robert; Shaw, Graham (2013), Particle Physics (3. izd.), ISBN 978-1-118-68166-4 – prek Google Books
• Penrose, Roger (2007), The Road to Reality, Vintage Books, COBISS 6036564, ISBN 978-0-679-77631-4

Zunanje povezave

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf (angleško)
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html (angleško)
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf (angleško)
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf (angleško)