Antikomutativnost

Ántikomutatívnost je v matematiki posebna značilnost nekaterih nekomutativnih matematičnih operacij. Zamenjava lege dveh argumentov antisimetrične operacije daje rezultat, ki je obraten rezultatu z nezamenjanima argumentoma. Pojem obratno (inverzno) se nanaša na strukturo grupe na kodomeni operacije, po možnosti z drugo operacijo. Odštevanje je antikomutativna dvočlena operacija, ker komutacija operandov $a-b\!\,$ da $b-a=-(a-b)\!\,$. Na primer 2 − 10 = −(10 − 2) = −8.

Drug pomemben zgled antikomutativne operacije je Liejev oklepaj v Liejevi algebri. Liejeva algebra je algebra nad poljem, kjer se operacija množenja sedaj imenuje Liejev oklepaj in ima dve dodatni značilnosti: je izmenična dvočlena preslikava in zadošča Jacobijevi enakosti. Liejev oklepaj dveh vektorjev $x\!\,$ in $y\!\,$ se označuje kot $[x,y]\!\,$. Ni treba da je asociativen, kar pomeni, da je Liejeva algebra lahko neasociativna. Glede na dano asociativno algebro (kot na primer prostor kvadratnih matrik) je Liejev oklepaj lahko in je pogosto definiran prek komutatorja. Določitev $[x,y]=xy-yx$ pravilno definira Liejev oklepaj poleg že obstoječe operacije množenja.

V matematični fiziki, kjer je simetrija osrednjega pomena, se te operacije večinoma imenujejo antisimetrične operacije in so razširjene v asociativnem okolju, da zajamejo več kot dva argumenta.

Definicija

Za dve Abelovi grupi $A\!\,$ in $B\!\,$ je bilinearna preslikava $f\colon A^{2}\to B\!\,$ antikomutativna če za vse $x,y\in A$ velja:

$f(x,y)=-f(y,x)\!\,.$

V splošnem je multilinearna preslikava $g:A^{n}\to B\!\,$ antikomutativna, če za vse $x_{1},\dots x_{n}\in A\!\,$ velja:

$g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})\!\,,$

kjer je ${\text{sgn}}(\sigma )\!\,$ predznak permutacije $\sigma \!\,$.

Značilnosti

Če Abelova grupa $B\!\,$ nima 2-vzvoja, kar pomeni, da za $x=-x\!\,$ velja $x=0\!\,$, potem za vsako antikomutativno bilinearno preslikavo $f\colon A^{2}\to B\!\,$ velja:

$f(x,x)=0\!\,.$

Bolj splošno s transpozicijo dveh elementov za vsako antikomutativno multilinearno preslikavo $g\colon A^{n}\to B\!\,$ velja:

$g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0\!\,,$

če je katerikoli od $x_{i}\!\,$ enak – takšna preslikava je izmenična. Nasprotno pa je z uporabo multilinearnosti vsaka izmenična preslikava antikomutativna. V binarnem primeru to deluje na naslednji način: če je preslikava $f\colon A^{2}\to B\!\,$ izmenična, potem zaradi bilinearnosti velja:

$f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0\!\,.$

Dokaz za multilinearni primer je enak, vendar le v dveh vnosih.

Zgledi

Med antikomutativne dvočlene operacije spadajo:

• vektorski produkt
• Liejev oklepaj v Liejevi algebri
• Liejev oklepaj v Liejevem kolobarju
• odštevanje

Glej tudi

• komutativnost
• komutator (matematika)
• zunanja algebra
• graduirani komutativni kolobar
• matematična operacija
• simetrija v matematiki
• statistika delcev (za antikomutativnost v fiziki)
• asociativnost
• distributivnost
• Abelova grupa
• nevtralni element

Viri

• Bourbaki, Nicolas (1989), »Chapter III. Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras«, Algebra. Chapters 1–3, (Elements of Mathematics) (2. tiskana izd.), Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982, Zbl 0904.00001

Zunanje povezave

• Gainov, A. T. (2001) [1994], »Anti-commutative algebra«, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press. Povezava na izvirni ruski vir
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Anticommutative«. MathWorld.