Maxwellove enačbe

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Maxwellove enáčbe [máksvelove ~] so osnovni zakoni elektrodinamike, ki povezujejo električno in magnetno polje v elektromagnetno polje ter opisujejo njegove časovne spremembe in širjenje v prostoru. Klasična Maxwellova elektrodinamika je prva fizikalna umeritvena teorija, čeprav izvirno ni bila tako mišljena.

Maxwellove enačbe v integralni obliki[uredi | uredi kodo]

Gaussov zakon o električnem pretoku[uredi | uredi kodo]

Električni pretok skozi zaključeno ploskev je enak objetemu naboju. Izviri električnega polja so pozitivni naboji, ponori pa negativni naboji:

\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = \int\!\rho_e dV = e \; .

Iz tega zakona izhaja Coulombov zakon.

Zakon o magnetnem pretoku[uredi | uredi kodo]

Magnetno polje nima izvirov; magnetni pretok skozi zaključeno ploskev je enak nič. Ker magnetnih monopolov ni, električni naboji pa obstajajo, magnetno in električno polje v snovi z gibljivimi nosilci naboja v Maxwellovih enačbah ne nastopata simetrično. Obe polji sta simetrični le v praznem prostoru, v katerem ni električnih nabojev:

 \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0 \; .

Ampèrov zakon o magnetni napetosti[uredi | uredi kodo]

Magnetna napetost vzdolž zaključene zanke je enaka vsoti objetih tokov in premikalnih tokov. V diferencialni obliki je rotor jakosti magnetnega polja enak vsoti gostote toka in spremembi gostote električnega polja:

 \oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{s} = \int\!\left( j_e + {\partial\mathbf{D}\over\partial t} \right)\cdot d\mathbf{S} = I + \frac{d\Phi_e}{dt} \; .

Faradayev indukcijski zakon[uredi | uredi kodo]

V zanki inducirana napetost je enaka negativni časovni spremembi objetega magnetnega pretoka, ali v diferencialni obliki, rotor jakosti električnega polja je enak spremembi gostote magnetnega polja:

 \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{s} = -\int\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} d\mathbf{S} = -\frac{d\Phi}{dt} \; .

Kontinuitetna enačba[uredi | uredi kodo]

Zgornjim enačbam lahko dodamo še kontinuitetno enačbo – izpeljemo jo lahko iz Amperovega zakona in zakona o magnetnem pretoku:

 \nabla \cdot \mathbf{j} + {\partial\rho\over\partial t} = 0 \; , \qquad
\oint \mathbf{j}\cdot d\mathbf{S} = -\frac{de}{dt} \; .

ki opiše zakon o ohranitvi naboja. Gostoto električnega polja izrazimo z jakostjo električnega polja:

 \mathbf{D} = \varepsilon\varepsilon_{0} \mathbf{E} \; ,

gostoto magnetnega polja pa z jakostjo magnetnega poja:

 \mathbf{B} = \mu\mu_{0} \mathbf{H} \; .

Maxwellove enačbe v diferencialni obliki[uredi | uredi kodo]

Z uporabo operatorjev vektorske analize je mogoč kompakten zapis Maxwellovih enačb v diferencialni obliki:

 \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_e \; .
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \; .
 \nabla \times \mathbf{H} - {\partial\mathbf{D}\over\partial t} =  j_e \; .
 \nabla \times \mathbf{E} + { {\partial\mathbf{B}\over\partial t} } = 0 \; .

Druga in četrta sta homogeni, prva in tretja pa sta nehomogeni Maxwellovi enačbi. Homogeni Maxwellovi enačbi kažeta na to, da klasična elektrodinamika ne vsebuje magnetnih monopolov. V drugih umeritvenih teorijah pa magnetni monopoli lahko nastopajo, vendar, če res obstajajo, naj bi bili zelo redki v Vesolju.

Maxwellove enačbe in teorija relativnosti[uredi | uredi kodo]

Maxwellove enačbe so invariantne na Lorentzovo transformacijo.

Z uvedbo antisimetričnih tenzorjev elektromagnetnega polja Mμν in Nμν imajo Maxwellove enačbe v relativistični obliki strnjeno obliko:

M^{\mu\nu} = \left[ \begin{matrix}0  & E_x/c_0 & E_y/c_0 & E_z/c_0 \\-E_x/c_0 & 0 & B_z & -B_y \\-E_y/c_0 & -B_z & 0 & -B_x \\-E_z/c_0 & B_y & -B_x & 0 \end{matrix} \right]
N^{\mu\nu} = \left[ \begin{matrix}0  & B_x & B_y & B_z \\-B_x & 0 & -E_z/c_0 & E_y/c_0 \\-B_y & E_z/c_0 & 0 & E_x/c_0 \\-B_z & -E_y/c_0 & E_x/c_0 & 0 \end{matrix} \right]

Zakon o električnem pretoku in zakon o magnetni napetosti lahko v tem primeru združimo v eno enačbo:

g^{\mu\nu} \partial^\nu M^{\mu\rho} + \mu_0 j_e^\rho = 0

Zakon o magnetnem pretoku in zakon o električni napetosti pa združimo v enačbo:

g^{\mu\nu} \partial^\nu N^{\mu\rho} = 0

Pri tem je j_e^\rho četverec gostote toka, g^{\mu\nu} metrični tenzor, vektor četverec \partial^\nu pa ustreza gradientu v prostoru Minkowskega. Pri seštevanju je upoštevan Einsteinov zapis.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Maxwellove enačbe je med letoma 1867 in 1873 postavil škotski fizik James Clerk Maxwell. Celotno teorijo je objavil leta 1873 v delu Razprava o elektriki in magnetizmu (Treatise on Electricity and Magnetism).

Izvirnih Maxwellovih enačb iz leta 1865 je bilo 20 in so vsebovale 20 spremenljivk. Maxwell naj bi jih v prvotni obliki zapisal s kvaternioni, kar pa se je večini znanstvenikov tistega časa zdelo preveč zapleteno. Nekateri strokovnjaki s tega področja so danes mnenja, da bi bilo z izvirnimi enačbami in uporabo kvaternionov namesto vektorjev možno pojasniti nekatere zanimive fizikalne pojave, ki so danes še uganka (npr. poenotena teorija polja), saj imajo kvaternioni vključeno tudi skalarno komponento, ki je vektorji nimajo. S tem se je v začetku 20. stoletja ukvarjal tudi Nikola Tesla.

Sodobno obliko Maxwellovih enačb sta izdelala Oliver Heaviside in Josiah Willard Gibbs, ki sta leta 1884 izvirne Maxwellove enačbe zapisala s prijemi vektorskega računa. Iz prvotnega sistema enačb je tako nastal sistem štirih enačb, ki jih poznamo danes.

Med prvimi evropskimi fiziki, ki je razumel Maxwellovo elektrodinamiko, je bil Jožef Stefan. Stefan je pisal svoje elektrodinamične enačbe še v vektorski obliki po komponentah.