Eksponent matrike

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Eksponent matrike je matrična funkcija, ki se izvaja nad kvadratnimi matrikami. Funkcija je podobna kot običajna naravna eksponentna funkcija. Če je realna ali kompleksna matrika z razsežnostjo , potem njeno naravno eksponentno matriko označujemo z ali in je enaka

.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Če sta in kompleksni matriki z razsežnostjo in sta in poljubni kompleksni števili, potem ima vrednost eksponenta matrike, naslednje lastnosti ( je enotska matrika):

Določanje vrednosti matričnih eksponentov[uredi | uredi kodo]

V nadaljevanju je podanih nekaj načinov določanja vrednosti eksponentov matrik:

Diagonalna matrika[uredi | uredi kodo]

Kadar je matrika diagonalna

izračunamo vrednost njenega eksponenta tako, da izračunamo eksponent vsakega elementa na glavni diagonali

To omogoča , da določimo vrednost eksponenta diagonalizabilne matrike. Kadar je matrika takšna, da velja in je diagonalna matrika, potem velja .

Nilpotentnost[uredi | uredi kodo]

Matrika je nilpotentna, če velja za poljubno celo število . V tem primeru lahko izračunamo eksponent matrike neposredno iz razvoja v vrsto, ker se vrsta konča po končnem številu členov

.

Uporaba[uredi | uredi kodo]

V linearnih diferencialnih enačbah[uredi | uredi kodo]

Eksponent matrike lahko uporabljamo v sistemih linearnih diferencialnih enačb. Običajna oblika linearne diferencialne enačbe

ima rešitev eCty(0).

Če vzamemo vektor

potem lahko napišemo linearno diferencialno enačbo kot

.

To nam pa da

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]