Eksponent matrike

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Eksponent matrike je matrična funkcija, ki se izvaja nad kvadratnimi matrikami. Funkcija je podobna kot običajna naravna eksponentna funkcija. Če je realna ali kompleksna matrika z razsežnostjo , potem njeno naravno eksponentno matriko označujemo z ali in je enaka

.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Če sta in kompleksni matriki z razsežnostjo in sta in poljubni kompleksni števili, potem ima vrednost eksponenta matrike, naslednje lastnosti ( je enotska matrika):

Določanje vrednosti matričnih eksponentov[uredi | uredi kodo]

V nadaljevanju je podanih nekaj načinov določanja vrednosti eksponentov matrik:

Diagonalna matrika[uredi | uredi kodo]

Kadar je matrika diagonalna

izračunamo vrednost njenega eksponenta tako, da izračunamo eksponent vsakega elementa na glavni diagonali

To omogoča , da določimo vrednost eksponenta diagonalizabilne matrike. Kadar je matrika takšna, da velja in je diagonalna matrika, potem velja .

Nilpotentnost[uredi | uredi kodo]

Matrika je nilpotentna, če velja za poljubno celo število . V tem primeru lahko izračunamo eksponent matrike neposredno iz razvoja v vrsto, ker se vrsta konča po končnem številu členov

.

Uporaba[uredi | uredi kodo]

V linearnih diferencialnih enačbah[uredi | uredi kodo]

Eksponent matrike lahko uporabljamo v sistemih linearnih diferencialnih enačb. Običajna oblika linearne diferencialne enačbe

ima rešitev eCty(0).

Če vzamemo vektor

potem lahko napišemo linearno diferencialno enačbo kot

.

To nam pa da

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]