Diagonalizabilna matrika

Diagonalizabilna matrika je matrika, ki je podobna diagonalni matriki. To pomeni, da mora obstajati takšna obrnljiva matrika $P\!\,$, da je matrika $P^{-1}AP\!\,$ diagonalna matrika.

Postopek pretvorbe matrike v diagonalno matriko se imenuje diagonalizacija.

Diagonalne matrike so zanimive zato, ker je delo z njimi zelo enostavno. Njihove lastne vrednosti in vektorji so znani in potenco matrike se izračuna tako, da se potencira diagonalne elemente.

Značilnosti

Matrika $A\!\,$ z razsežnostjo $n\times n\!\,$ je diagonalizabilna nad obsegom $F\!\,$, če in samo če je vsota razsežnost lastnih prostorov enaka $n\!\,$.

Diagonalizacija

Kadar je matrika $A\!\,$ diagonalizabilna, to pomeni, da velja:

$P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\!\,.$

V tem primeru je:

$AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}\!\,.$

Če se piše $P\!\,$ kot bločno matriko z vrstičnimi vektorji:

$P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{n}\end{pmatrix}}\!\,,$

potem se lahko zapiše zgornjo enačbo kot:

$A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\cdots ,n)\!\,.$

Iz tega se vidi, da so stolpični vektorji matrike $P\!\,$ lastni vektorji matrike $A\!\,$, pripadajoče diagonalne vrednosti pa so lastne vrednosti.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Diagonalizabilna matrika na MathWorld (angleško)
• Diagonalizabilna matrika Arhivirano 2011-03-10 na Wayback Machine. (angleško)