Bločna matrika (tudi deljena matrika) je matrika, katere elemente lahko razdelimo na dele (bloke).
Običajno matriko
![{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8ef10a367e48a242a09924d51332152f313b7c)
lahko razdelimo na 4 skupine (bloke)
![{\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66a08a969e812b01ffe761b5e5d2fb572b9fb08)
Tako razdeljeno matriko lahko pišemo kot
![{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af2a8f52863c7aaf68cc59d22b89b942d1c25a1)
Množenje matrik, ki so razdeljene na bloke, lahko pretvorimo na množenje podmatrik.
Če imamo bločno matriko
z razsežnostjo
, ki je razdeljena na
vrstic in
stolpcev
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29bd54205435287698f55a5a908a2cf04bdec65)
in bločno matriko
z razsežnostjo
, ki je razdeljena na
vrstic in
stolpcev
![{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839655591dfa28f96da70c7c0656d058a7b41ccc)
potem nam zmnožek
![{\displaystyle C=AB\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330082bcbf5dfaef298f4559ec322769ef82035e)
da matriko z razsežnostjo
, ki je razdeljena na
delov (blokov) v vrsticah in
delov (blokov) v stolpcih.
To je
.
kjer je
kvadratna matrika v vrstici
.
Bločna diagonalna matrikaje kvadratna matrika, ki ima na glavni diagonali kvadratne matrike, na vseh blokih izven glavne diagonale pa so ničelne matrike.
Takšna matrika ima obliko
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27999cd776b202eb6c8d89bd63bb0b5aec6ee17c)
kjer je
kvadratna matrika .
Matrika
je direktna vsota matrik
, ki jo zapišemo tudi kot
.
Determinanta, sled in obratna matrika[uredi | uredi kodo]
Za determinanto in sled diagonalne bločne matrike velja
![{\displaystyle \operatorname {det} \mathbf {A} =\operatorname {det} \mathbf {A} _{1}\cdot \ldots \cdot \operatorname {det} \mathbf {A} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b816f5e558c8273415c606f3d160e38808cce8)
.
Obratna matrika obrnljive diagonalne bločne matrike je tudi diagonalna bločna matrika:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57c6c4210208fa262225c42067c91324c5970f0)
Bločna tridiagonalna matrika[uredi | uredi kodo]
Bločna tridiagonalna matrika ima obliko
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decc038b40adac54a49ce8f2a2ce67ae5af6d27b)
kjer je
,
,
kvadratna podmatrika na glavni diagonali ali spodnji ali zgornji stranski diagonali
Njeno strukturo pa lahko opišemo podobno kot pri tridiagonalni matriki
Bločna Teoplitzova matrika[uredi | uredi kodo]
Bločna Toeplitzova matrika ima podobno kot Toeplitzova matrika bloke, ki se ponavljajo vzdolž glavne diagonale matrike
.
Direktna vsota (oznaka
) matrike
z razsežnostjo
in matrike
z razsežnostjo
je določena kot
.