Bločna matrika

Bločna matrika (tudi deljena matrika) je matrika, katere elemente se lahko razdel na dele (bloke).

Zgled

Običajno matriko:

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}$

se lahko razdeli na 4 skupine (bloke) $2\times 2\,$

$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.$

Tako razdeljeno matriko se lahko zapiše kot:

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.$

Množenje bločnih matrik

Množenje matrik, ki so razdeljene na bloke, se lahko pretvori na množenje podmatrik.

Če sta bločna matrika $A\,$ z razsežnostjo $m\times p\,$ , ki je razdeljena na $q\,$ vrstic in $s\,$ stolpcev

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}$

in bločna matrika $B\,$ z razsežnostjo $p\times n\,$, ki je razdeljena na $s\,$ vrstic in $r\,$ stolpcev

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}},$

potem zmnožek:

$C=AB\,$

da matriko z razsežnostjo $m\times n\,$, ki je razdeljena na $q\,$ delov (blokov) v vrsticah in $r\,$ delov (blokov) v stolpcih. To je

$\mathbf {C} _{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}\mathbf {A} _{\alpha \gamma }\mathbf {B} _{\gamma \beta }.$.

kjer je

• $A_{k}\,$ kvadratna matrika v vrstici $k\,$.

Bločna diagonalna matrika

Bločna diagonalna matrikaje kvadratna matrika, ki ima na glavni diagonali kvadratne matrike, na vseh blokih zunaj glavne diagonale pa so ničelne matrike. Takšna matrika ima obliko:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}$

kjer je:

• $A_{k}\,$ kvadratna matrika.

Matrika $A\,$ je direktna vsota matrik $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\,$, ki se jo zapiše tudi kot $A_{1}\oplus A_{2}\oplus \dots \oplus A_{n}\,$.

Determinanta, sled in obratna matrika

Za determinanto in sled diagonalne bločne matrike velja

$\operatorname {det} \mathbf {A} =\operatorname {det} \mathbf {A} _{1}\cdot \ldots \cdot \operatorname {det} \mathbf {A} _{n}$

$\operatorname {sl} \mathbf {A} =\operatorname {sl} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {sl} \mathbf {A} _{n}.$.

Obratna matrika obrnljive diagonalne bločne matrike je tudi diagonalna bločna matrika:

${\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{pmatrix}}.$

Bločna tridiagonalna matrika

Bločna tridiagonalna matrika ima obliko:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}$

kjer je:

• $A_{k}\,$, $B_{k}\,$, $C_{k}\,$kvadratna podmatrika na glavni diagonali ali spodnji ali zgornji stranski diagonali.

Njeno strukturo se lahko piše podobno kot pri tridiagonalni matriki

Bločna Teoplitzeva matrika

Bločna Toeplitzeva matrika ima podobno kot Toeplitzeva matrika bloke, ki se ponavljajo vzdolž glavne diagonale matrike:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&\cdots &\mathbf {A} _{(1,n-1)}&\mathbf {A} _{(1,n)}\\\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&&&\mathbf {A} _{(1,n-1)}\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\\mathbf {A} _{(n-1,1)}&&&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}&\mathbf {A} _{(1,2)}\\\mathbf {A} _{(n,1)}&\mathbf {A} _{(n-1,1)}&\cdots &&&\mathbf {A} _{(2,1)}&\mathbf {A} _{(1,1)}\end{bmatrix}}.$.

Direktna vsota

Direktna vsota (oznaka $\oplus \,$) matrike $A\,$ z razsežnostjo $m\times n\,$ in matrike $B\,$ z razsežnostjo $p\times q\,$ je določena kot:

$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.$.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Obratna matrika bločne matrike v Priročniku za matrike (angleško)
• Determinanta bločne matrike v Priročniku za matrike (angleško)
• Bločna matrika na MathWorld (angleško)