Sled matrike

Sled matrike (oznaka v angleških besedilih $\mathrm {Tr} (\dots )\,$ ali $\mathrm {tr} (\dots )\,$, v nemških besedilih $\mathrm {Sp} (\dots )\,$ ali $\mathrm {Spur} (\dots )\,$, v slovenščini se uporablja $\mathrm {sl} (\dots )\,$ ) je v linearni algebri za kvadratno matriko $A\,$, ki ima razsežnost $n\times n\,$ določena kot vsota elementov na diagonali matrike:

$\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\!\,,$

kjer je

• $a_{ij}\,$ element matrike v i-ti vrstici in j-tem stolpcu
• $A\,$ je matrika

Vidi se, da je sled vsota lastnih vrednosti, ki je zaradi tega invariantna glede na spremembo baze. Sled je linearna transformacija.

Značilnosti

Za vse kvadratne matrike $A\,$ in $B\,$ velja:

$\mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B)\!\,.$

Če pa je $c\,$ skalar, velja tudi:

$\mathrm {tr} (cA)=c\cdot \mathrm {tr} (A)\!\,.$

Kadar pa je $A\,$ matrika $m\times n\,$

• $\mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \mathop {\rm {tr}} \;B$ (linearnost)

• $\mathop {\rm {tr}} \;(ABC)=\mathop {\rm {tr}} \;(BCA)=\mathop {\rm {tr}} \;(CAB)$ (cikličnost)

oziroma

$\mathrm {tr} (ABC)\neq \mathrm {tr} (ACB)\!\,.$

Iz tega sledi:

$\mathop {\rm {tr}} \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr}} \;(A)\$

• $\mathop {\rm {tr}} \;(A)=\mathop {\rm {tr}} \;(A^{T})\,$ kjer je s T označena transponirana matrika

• $\ln \det(A)=\mathop {\rm {tr}} \;(\ln A)\,$

• če je $A\otimes B$ tenzorski produkt matrik $A\,$ in $B\,$, potem je $\mathop {\rm {tr}} \;(A\otimes B)=\mathop {\rm {tr}} \;(A)\mathop {\rm {tr}} \;(B)$

• sled matrike z realnimi ali kompleksnimi elementi je enaka vsoti njenih lastnih vrednosti

• $\operatorname {tr} (A\cdot B)=\mathrm {tr} (B\cdot A)$

• kadar sta matriki $A$ in $B$ $n\times n\,$ $A$ velja tudi

$\operatorname {tr} (A\cdot B)\geq 0$

• sled realne ali kompleksne idempotentne matrike $A\,$ je enaka njenemu rangu:

$\operatorname {tr} (A)=\mathrm {Rang} (A)\!\,.$

• za vse realne ali kompleksne matrike z $n\times n\,$ je tudi

$\det \left(\exp \left(A\right)\right)=\exp \left(\operatorname {tr} \left(A\right)\right)$

Zunanje povezave

• Sled matrike na MathWorld (angleško)