Sled matrike

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Sled matrike (oznaka v angleških besedilih \mathrm{Tr} (\dots) \, ali \mathrm{tr} (\dots) \,, v nemških besedilih \mathrm{Sp} (\dots) \, ali \mathrm{Spur} (\dots) \,, v slovenščini se uporablja \mathrm{sl} (\dots) \, ) je v linearni algebri za kvadratno matriko  A \,, ki ima razsežnost  n \times n \, določena kot vsota elementov na diagonali matrike:

 \mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \!\, ,

kjer je

  •  a_{ij} \, element matrike v i-ti vrstici in j-tem stolpcu
  •  A \, je matrika

Vidi se, da je sled vsota lastnih vrednosti, ki je zaradi tega invariantna glede na spremembo baze. Sled je linearna transformacija.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Za vse kvadratne matrike  A \, in  B \, velja:

 \mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B) \!\, .

Če pa je  c \, skalar, velja tudi:

 \mathrm{tr}(cA) = c\cdot \mathrm{tr}(A) \!\, .

Kadar pa je  A \, matrika  m \times n \,

  • \mathop{\rm tr} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop{\rm tr} \;A+\beta \mathop{\rm tr} \;B (linearnost)
  • \mathop{\rm tr} \;(A B C) = \mathop{\rm tr} \;(B C A) = \mathop{\rm tr} \;(C A B) (cikličnost)
oziroma
 \mathrm{tr}(ABC) \neq \mathrm{tr}(ACB) \!\, .
Iz tega sledi:
 \mathop{\rm tr}\;(C^{-1}AC) =  \mathop{\rm tr}\; (A)\
  • \ln \det(A) = \mathop{\rm tr} \; (\ln A) \,
  • \operatorname{tr}(A\cdot B)= \mathrm{tr}(B\cdot A)
  • kadar sta matriki A in B n \times n \, A velja tudi
\operatorname{tr}(A\cdot B) \geq 0
\operatorname{tr}(A)=\mathrm{Rang}(A) \!\, .
  • za vse realne ali kompleksne matrike z n\times n \, je tudi
\det\left(\exp\left(A\right)\right)=\exp\left(\operatorname{tr}\left(A\right)\right)

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]