Determinanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Determinanta je preslikava, ki kvadratni matriki priredi število. Vsaki determinanti pripada število(ki ga lahko izračunamo iz elementov), matriki pa ne moremo pripisati nekega števila. Posameznim vrednostim (lahko so realne ali kompleksne) v determinanti pravimo elementi determinante. V matriki in v determinanti so posamezni elementi razporejeni v vrstice (vodoravno) in stolpce (navpično).

Determinanto označujemo z dvema navpičnima črtama med kateri podobno kot pri matriki vpišemo elemente v vrstice in stolpce.

Vsaki determinanti lahko pripišemo tudi red, ki je enak razsežnosti pripadajoče matrike. Tako matriki reda 2 lahko pripišemo determinanto reda 2 (običajno to zapišemo kot ) in tako naprej (primer za splošno obliko uporabimo ).

Determinanto matrike označujemo kot ali poenostavljeno tudi . Kadar pa hočemo vpisati vse elemente determinante, lahko označimo determinanto z dvema navpičnima črtama, pripadajočo matriko pa označujemo z oglatima oklepajema.

Tako determinanta tretjega reda

pripada matriki (tretjega reda)

Splošno obliko determinante pa zapišemo kot

kjer je z označen element v vrstici x in stolpcu y.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Japonec Seki Takakazu je uvedel determinante reda 3 in 4, v istem obdobju kot Nemec Gottfried Wilhelm Leibniz

Determinante so se pojavile v 16. stoletju, kar je precej pred pojavom matrik v 19. soletju. Prva uporaba determinant je povezana s sistemom linearnih enečb. Vpeljal jih je italijanski matematik, astronom, zdravnik, filozof, fizik, astrolog in kockar Gerolamo Cardano (1501 – 1576) v letu 1545. Uporabljal je determinante drugega reda za določanje rešitev sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Približno ob istem času sta jih pričela uporablajti tudi japonski matematik Seki Takakazu (znan tudi kot Seki Kova) in nemški filozof, matematik, fizik, pravnik, zgodovinar, jezikoslovec, knjižničar in diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Prvi je uporabil izraz determinanta francoski matematik Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857).

Določanje vrednosti determinant[uredi | uredi kodo]

Determinanta [uredi | uredi kodo]

Matriki

pripada determinanta

.
Ploščina paralelograma je absolutna vrednost determinante matrike, ki jo dajo vektorji, ki predstavljajo stranice paralelograma.

Površina paralelograma[uredi | uredi kodo]

Matrika 2x2

ima determinanto

.

Determinanto lahko gledamo kot paralelogram z vrhovi na točkah , , in .

Prostornina paralelepipeda je absolutna vrednost determinante matrike s stranicami r1, r2, in r3.

Determinanta [uredi | uredi kodo]

Matrika

ima determinanto, ki se izračuna kot

Vrednost determinante lahko določimo s pomočjo Sarrusovega pravila.

Lastnosti determinant[uredi | uredi kodo]

To je zmnožek vseh elementov v diagonali matrike.
  • Kadar je matrika nastala iz matrike z zamenjavo dveh vrstic ali stolpcev, velja
  • Kadar je matrika nastala iz matrike tako, da smo pomnožili vse elemente v vrstici ali vse elemente v stolpcu c konstanto velja

Kadar pa je matrika pomnožena s skalarjem

  • Kadar je matrika nastala iz matrike tako, da smo dodali s konstanto pomnoženo vrstico ali stolpec drugi vrstici ali stolpcu je:
  • Determinanta reda 1 vsebuje samo en element. Takšna determinanta ima vrednost
  • Determinanta (reda 2) se izračuna kot
  • Determinanta višjih redov (npr. reda ) pa običajno določamo z uporabo Laplaceovega obrazca z razvojem po vrstici ali razvojem po stolpcu (glej Določanje vrednosti splošne determinante spodaj).

Določanje vrednosti splošne determinante[uredi | uredi kodo]

Za izračunavanje vrednosti determinante uporabljamo Laplaceov obrazec, ki je primeren za računanje vrednosti determinant višjih redov. Determinanto lahko razvijemo po poljubni vrstici ali poljubnem stolpcu.

Razvoj determinante po j-ti vrstici

(za vse j od 1 do n)

Razvoj po i-tem stolpcu

(za vse i od 1 do n)

kjer je

  • podteterminanta elementa
  • podteterminanta elementa

Podteterminanto (tudi minor) (), ki pripada elementu dobimo tako, da v matriki izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec. Zmnožek se imenuje tudi kofaktor elementa . Razvoj determinanteje skalarni produkt elementov vrstice ali stolpca s pripadajočimi kofaktorji.

Ostale lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • Determinanta
Ima vrednost 1 tudi, ko je n= 0 in celo, če je matrika prazna
  • Determinanta zmnožka dveh kvadratnih matrik je enaka zmnožku determinant posameznih matrik
  • Kadar vrednost determinante, ki pripada matriki ni enaka 0, velja tudi
  • Če sta matriki A in B podobni matriki in če obstoja takšna obratna matrika (nesingularna) matrika za katero velja
potem je

Determinanta in matrike[uredi | uredi kodo]

Kadar so , , matrike, ki imajo po vrsti razsežnosti , , in , potem je:

Kadar obstoja obratna matrika matrike velja tudi

Kadar pa obstoja obratna matrika matrike , pa velja

[1]

Velja tudi naslednje:[2]

Kadar matriki in komutirata (to je ), je

Kadar matriki in komutirata (to je , je tudi

Kadar matriki in komutirata (to je , je tudi

.

Odnos do sledi[uredi | uredi kodo]

Sled je vsota elementov matrike na diagonali. S tem je sled enaka tudi lastnim vrednostim

kjer je

  • potenca matrike

Iz tega sledi, da se za različne matrike z razsežnostjo dobi determinante

Odvod[uredi | uredi kodo]

Za določanje odvoda se uporablja Jacobijev obrazec:

kjer je

  • adjungirana matrika matrike
  • sled matrike

Če je matrika obrnljiva, dobimo

Če izrazimo odvod z elementi matrike , velja tudi

Če matriko zapišemo kot kjer so vektorji, potem je gradient po enem izmed teh vektorjev enak vektorskemu produktu drugih dveh:

.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]