Adjungirana matrika (tudi prirejena matrika) (oznaka
ali
, tudi
in
) se za matriko
izračuna tako, da
- določimo poddeterminante, ki jih označimo z
![{\displaystyle M_{ij}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af243ad877661267af2df3ca3c82a28310a1d74)
- določimo kofaktorje
oziroma matriko kofaktorjev ![{\displaystyle C\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785a192e3331793e37b1be0c5315d196da1a7049)
- dobljeno matriko kofaktorjev transponiramo
S tem smo dobili adjungirano matriko matrike
.
To pomeni, da je adjugirana matrika matrike
z elementi
je matrika kofaktorjev z elementi
(pozor: zaporedje indeksov je obrnjeno).
.
Adjungirana matrika igra podobno vlogo kot obratna matrika, vendar pri določanju te matrike ni potrebno deljenje.
Imamo splošno matriko
.
Njena adjungirana matrika je
.
Imamo matriko
z razsežnostjo
.
Matrika kofaktorjev
![{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8e4ef2f788808afe669391eaeb5b12f5e14ba2)
Adjungirano matriko dobimo tako, da zgornjo matriko transponiramo:
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ecd0691c0bd84f0416c48cf504441f4ae7ff4f)
kjer je
.
Za primer numerične matrike vzemimo:
.
Adjunginane matrike imajo naslednje lastnosti
![{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7a4c2f5d4d29cbf834666a75d1420776f90485)
- Adjungirana matrika zmnožka matrik je enak zmnožku adjungiranih matrik
![{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c5fab0de95d67ca1fa51dd4d57e5f63f9bc647)
- za vse matrike
in
, ki imajo razsežnost
.
.
![{\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a91bb1ab5bec26b77b06d59696162d25af55b2)
Adjugiranje se pojavlja tudi v obrazcih za odvod determinante.