Kofaktor (oznaka
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}\,}
za element
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}\,}
matrike
A
{\displaystyle A\,}
) (tudi adjunkt ali adjunkta) je v linearni algebri poddeterminanta s predznakom. Uporablja se za izračun vrednosti determinant in obratnih matrik. Vsakemu elementu
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,j)\,}
matrike lahko pripišemo kofaktor. Kofaktor je vrednost poddeterminante s predznakom.
Poddeterminanta in kofaktor [ uredi | uredi kodo ]
Elementu
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}\,}
, ki pripada matriki
A
{\displaystyle A\,}
, lahko pripišemo poddeterminanto
M
i
j
{\displaystyle M_{ij}\,}
tako, da izbrišemo i-tovrstico in j-ti stolpec.
Če je
i
+
j
{\displaystyle i+j\,}
parno število, je kofaktor
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}\,}
enak poddeterminanti:
C
i
j
=
M
i
j
.
{\displaystyle C_{ij}=M_{ij}.\,}
Če pa je
i
+
j
{\displaystyle i+j\,}
liho število, je enak nasprotni vrednosti poddeterminante
C
i
j
=
−
M
i
j
.
{\displaystyle C_{ij}=-M_{ij}.\,}
V splošni obliki to lahko zapišemo kot
C
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
{\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\,}
kjer je
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}\,}
kofaktor elementa
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}\,}
M
i
j
{\displaystyle M_{ij}\,}
poddeterminanta elementa
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}\,}
.
Če imamo matriko
B
=
[
b
11
b
12
b
13
b
21
b
22
b
23
b
31
b
32
b
33
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}}
in želimo poiskati kofaktor
C
23
{\displaystyle C_{23}\,}
. V tem primeru dobimo poddeterminanto
M
23
{\displaystyle M_{23}\,}
zgornje matrike, če odstranimo 2. vrstico in 3. stolpec je
M
23
=
|
b
11
b
12
◻
◻
◻
◻
b
31
b
32
◻
|
{\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}}
Kjer je z
◻
{\displaystyle \Box \,}
označen element, ki ga brišemo.
To nam da
M
23
=
|
b
11
b
12
b
31
b
32
|
=
b
11
b
32
−
b
31
b
12
{\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}}
Iz tega sledi, da so kofaktorji enaki
C
23
=
(
−
1
)
2
+
3
(
M
23
)
{\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})}
C
23
=
(
−
1
)
5
(
b
11
b
32
−
b
31
b
12
)
{\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})}
C
23
=
b
31
b
12
−
b
11
b
32
.
{\displaystyle \ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.}
.
Glavni članek: Determinanta .
Če imamo matriko
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
z elementi
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
,
lahko vrednost pripadajoče determinante izračunamo z razvojem po j-tem stolpcu:
det
(
A
)
=
a
1
j
C
1
j
+
a
2
j
C
2
j
+
a
3
j
C
3
j
+
.
.
.
+
a
n
j
C
n
j
{\displaystyle \ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}}
Lahko pa jo izračunamo tudi z razvojem po i-ti vrstici
det
(
A
)
=
a
i
1
C
i
1
+
a
i
2
C
i
2
+
a
i
3
C
i
3
+
.
.
.
+
a
i
n
C
i
n
{\displaystyle \ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}}
Matrika kofaktorjev matrike
A
{\displaystyle A\,}
z
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
je matrika, ki ima za elemente kofaktorje
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}\,}
.
Primer: matrika
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
ima naslednjo matriko kofaktorjev
C
=
[
C
11
C
12
⋯
C
1
n
C
21
C
22
⋯
C
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
C
n
1
C
n
2
⋯
C
n
n
]
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}
kjer je
C
i
j
{\displaystyle C_{ij}\,}
kofaktor elementa
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}\,}
.
Adjungirana matrika se uporablja za določanje obratne matrike
A
{\displaystyle A\,}
.
A
−
1
=
1
det
A
adj
(
A
)
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}
.
Adjungirana matrika je matrika kofaktorjev, ki smo jo transponirali.
Primer:
Matrika kofaktorjev
[
C
11
C
12
⋯
C
1
n
C
21
C
22
⋯
C
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
C
n
1
C
n
2
⋯
C
n
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}
,
ki jo transponiramo je
a
d
j
(
A
)
=
[
C
11
C
21
⋯
C
n
1
C
12
C
22
⋯
C
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
C
1
n
C
2
n
⋯
C
n
n
]
.
{\displaystyle \mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}.}
kjer je
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {adj} (A)\,}
adjungirana matrika matrike
A
{\displaystyle A\,}
.