Kofaktor (matematika)

Kofaktor (oznaka $C_{ij}\,$$C_{ij}\,$ za element $a_{ij}\,$$a_{ij}\,$ matrike $A\,$$A\,$) (tudi adjunkt ali adjunkta) je v linearni algebri poddeterminanta s predznakom. Uporablja se za izračun vrednosti determinant in obratnih matrik. Vsakemu elementu $(i,j)\,$$(i,j)\,$ matrike lahko pripišemo kofaktor. Kofaktor je vrednost poddeterminante s predznakom.

Poddeterminanta in kofaktor

Elementu $a_{ij}\,$$a_{ij}\,$, ki pripada matriki $A\,$$A\,$, lahko pripišemo poddeterminanto $M_{ij}\,$$M_{ij}\,$ tako, da izbrišemo i-tovrstico in j-ti stolpec. Če je $i+j\,$$i+j\,$ parno število, je kofaktor $C_{ij}\,$$C_{ij}\,$ enak poddeterminanti:

$C_{ij}=M_{ij}.\,$$C_{ij}=M_{ij}.\,$

Če pa je $i+j\,$$i+j\,$ liho število, je enak nasprotni vrednosti poddeterminante

$C_{ij}=-M_{ij}.\,$$C_{ij}=-M_{ij}.\,$

V splošni obliki to lahko zapišemo kot

$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\,$$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\,$

kjer je

• $C_{ij}\,$$C_{ij}\,$ kofaktor elementa $a_{ij}\,$$a_{ij}\,$
• $M_{ij}\,$$M_{ij}\,$ poddeterminanta elementa $a_{ij}\,$$a_{ij}\,$.

Primer

Če imamo matriko

$B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}$$B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}$

in želimo poiskati kofaktor $C_{23}\,$$C_{23}\,$. V tem primeru dobimo poddeterminanto $M_{23}\,$$M_{23}\,$ zgornje matrike, če odstranimo 2. vrstico in 3. stolpec je

$M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}$$M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}$

Kjer je z $\Box \,$$\Box \,$ označen element, ki ga brišemo.

To nam da $M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}$$M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}$

Iz tega sledi, da so kofaktorji enaki

$\ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})$$\ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})$

$\ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})$$\ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})$

$\ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.$$\ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.$.

Razvoj determinante

Če imamo matriko $n\times n\,$$n\times n\,$ z elementi

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$ ,

lahko vrednost pripadajoče determinante izračunamo z razvojem po j-tem stolpcu:

$\ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}$$\ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}$

Lahko pa jo izračunamo tudi z razvojem po i-ti vrstici

$\ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}$$\ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}$

Matrika kofaktorjev

Matrika kofaktorjev matrike $A\,$$A\,$ z $n\times n\,$$n\times n\,$ je matrika, ki ima za elemente kofaktorje $C_{ij}\,$$C_{ij}\,$.

Primer: matrika

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

ima naslednjo matriko kofaktorjev

$C={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$$C={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

kjer je

• $C_{ij}\,$$C_{ij}\,$ kofaktor elementa $a_{ij}\,$$a_{ij}\,$.

Adjungirana matrika

Adjungirana matrika se uporablja za določanje obratne matrike $A\,$$A\,$.

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )$$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )$.

Adjungirana matrika je matrika kofaktorjev, ki smo jo transponirali.

Primer:
Matrika kofaktorjev

${\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$,

ki jo transponiramo je

$\mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}.$$\mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}.$

kjer je

• $\mathrm {adj} (A)\,$$\mathrm {adj} (A)\,$ adjungirana matrika matrike $A\,$$A\,$.

Zunanje povezave

• Matematika za biologe (v slovenščini)
• Kalkulator za določanje kofaktorjev (v angleščini)
• Weisstein, Eric Wolfgang. "Cofactor" (angleščina). MathWorld.