Poševnohermitska matrika

Poševnohermitska matrika (tudi antihermitska) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere konjugirano transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

$A^{\dagger }=-A\!\,,$

kjer je:

• $A^{\dagger }\,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A\,$.

To lahko zapišemo tudi kot:

$a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}\!\,,$

kjer je:

• $a_{ij}\,$ element iz matrike $A\,$
• zgornja črtica pomeni konjugacijo elementa $a_{ij}\,$

Zgled

${\begin{bmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{bmatrix}}\!\,.$

Značilnosti

• lastne vrednosti poševnohermitske matrike so imaginarne
• poševnohermitske matrike so normalne, torej jih lahko diagonaliziramo, njihovi lastni vektorji pa so za različne vrednosti ortogonalni.
• Elementi na glavni diagonali so samo imaginarni (brez realnega dela)
• če sta matriki $A\,$ in $B\,$ poševnohermitski, potem je tudi matrika $aA+bB\,$ poševnohermitska za realna skalarja $a\,$ in $b\,$
• če je matrika $A\,$ poševnohermitska, potem je matrika $iA\,$ hermitska
• če je matrika $A\,$ poševnohermitska, potem je matrika $A^{k}\,$ hermitska, če je k sodo celo število, in poševno hermitska, če je k liho celo število
• če je $C\,$ poljubna kvadratna matrika, potem jo lahko zapišemo kot vsoto hermitske matrike $A\,$ in poševnohermitske matrike $B\,$ tako, da je $C=A+B\,$ in

da velja

$A={\frac {1}{2}}(C+C^{\dagger })\,$ in $\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{\dagger })\,$

• Če je $A\,$ poševnohermitska matrika, potem je $e^{A}\,$ unitarna matrika.
• prostor poševnohermitskih matrik tvori Liejevo algebro in Liejevo grupo $U(n)\,$

Glej tudi

• hermitska matrika
• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Antihermitian Matrix«. MathWorld.