Unitarna matrika

Unitarna matrika (oznaka $U\,$$U\,$) je kompleksna matrika za katero velja

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n}\,$$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n}\,$

kjer je

• $I_{n}\,$$I_{n}\,$ enotska matrika reda $n\,$$n\,$
• $U^{\dagger }\,$$U^{\dagger }\,$ konjugirano transponirana matrika matrike $U\,$$U\,$

Matrika $U\,$$U\,$ je unitarna samo, če ima obratno matriko, ki je enaka konjugirano transponirani $U^{\dagger }\,$$U^{\dagger }\,$

$U^{-1}=U^{\dagger }\,\;$$U^{-1}=U^{\dagger }\,\;$.

Unitarna matrika, ki ima vse elemente realne, se imenuje ortogonalna matrika.

Lastnosti

Unitarne matrike lahko diagonaliziramo.

Množica unitarnih matrik reda $n\,$$n\,$ sestavlja unitarno grupo (oznaka $U(n)\,$$U(n)\,$ ). Podgrupa unitarnih matrik z determinanto enako 1, se imenuje specialna unitarna grupa, ki jo označujemo z $SU(n)\,$$SU(n)\,$. Grupi $SU(2)\,$$SU(2)\,$ in $SU(3)\,$$SU(3)\,$ igrata izredno pomembno vlogo v kvantni mehaniki in fiziki osnovnih delcev.

Determinanta unitarne matrike ima vrednost 1

${\begin{aligned}1&=\det(I)=\det(UU^{*})=\det(U)\cdot \det(U^{*})=\det(U)\cdot \det({\overline {U}}^{T})\\&=\det(U)\cdot \det({\overline {U}})=\det(U)\cdot {\overline {\det(U)}}=|\det(U)|^{2}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}1&=\det(I)=\det(UU^{*})=\det(U)\cdot \det(U^{*})=\det(U)\cdot \det({\overline {U}}^{T})\\&=\det(U)\cdot \det({\overline {U}})=\det(U)\cdot {\overline {\det(U)}}=|\det(U)|^{2}.\end{aligned}}$.

Zmnožek dveh unitarnih matrik je unitarna matrika

$\left(UV\right)^{-1}=V^{-1}U^{-1}={\overline {V}}^{T}{\overline {U}}^{T}=\left({\overline {UV}}\right)^{T}.$$\left(UV\right)^{-1}=V^{-1}U^{-1}={\overline {V}}^{T}{\overline {U}}^{T}=\left({\overline {UV}}\right)^{T}.$

Stolpci unitarne matrike $A\,$$A\,$ tvorijo ortonormirano bazo v unitarnem prostoru. Isto velja tudi za vrstice.

Zunanje povezave

• Unitarna matrika na MathWorld (v angleščini)
• Unitarne matrike (v angleščini)