Unitarna matrika

Unitarna matrika (oznaka $U\,$) je kompleksna matrika za katero velja:

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n}\!\,,$

kjer je:

• $I_{n}\!\,$ – enotska matrika reda $n\!\,$
• $U^{\dagger }\!\,$ – konjugirano transponirana matrika matrike $U\!\,$

Matrika $U\!\,$ je unitarna samo, če ima obratno matriko, ki je enaka konjugirano transponirani $U^{\dagger }\!\,$:

$U^{-1}=U^{\dagger }\!\,.$

Unitarna matrika, ki ima vse elemente realne, se imenuje ortogonalna matrika.

Značilnosti

Unitarne matrike se lahko diagonalizira.

Množica unitarnih matrik reda $n\!\,$ sestavlja unitarno grupo (oznaka $U(n)\!\,$ ). Podgrupa unitarnih matrik z determinanto enako 1, se imenuje specialna unitarna grupa, ki se jo označuje z $SU(n)\!\,$. Grupi $SU(2)\!\,$ in $SU(3)\!\,$ igrata izredno pomembno vlogo v kvantni mehaniki in fiziki osnovnih delcev.

Determinanta unitarne matrike ima vrednost 1:

${\begin{aligned}1&=\det(I)=\det(UU^{*})=\det(U)\cdot \det(U^{*})=\det(U)\cdot \det({\overline {U}}^{T})\\&=\det(U)\cdot \det({\overline {U}})=\det(U)\cdot {\overline {\det(U)}}=|\det(U)|^{2}.\end{aligned}}\!\,.$

Zmnožek dveh unitarnih matrik je unitarna matrika:

$\left(UV\right)^{-1}=V^{-1}U^{-1}={\overline {V}}^{T}{\overline {U}}^{T}=\left({\overline {UV}}\right)^{T}\!\,.$

Stolpci unitarne matrike $A\!\,$ tvorijo ortonormirano bazo v unitarnem prostoru. Isto velja tudi za vrstice.

Zunanje povezave

• Unitarna matrika na MathWorld (angleško)
• Unitarne matrike Arhivirano 2011-12-07 na Wayback Machine. (angleško)