Nilpotentna matrika

Nilpotentna matrika je kvadratna matrika $A\!\,$ za katero velja:

$A^{n}=0\quad {\text{za}}\quad n\in \mathbb {N} \!\,$

kjer je:

• $0\!\,$ – ničelna matrika.

Najmanše naravno število $n\!\,$ se imenuje stopnja nilpotentnosti.

Nilpotentna transformacija je linearna transformacija $L\!\,$ vektorskega prostora tako, da je $L^{k}=0\!\,$ za pozitivno celo število $k\!\,$.

Zgled

Naslednja matrika ima stopnjo nilpotentnosti 2:

$A={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\!\,,$

ker je:

$A^{2}=A\cdot A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\!\,.$

Značilnosti

Matrika:

$N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\!\,$

je nilpotentna, ker je:

$N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\!\,.$

• če je matrika $N\!\,$ nilpotentna, potem je matrika $I+N\!\,$ obrnljiva matrika, ki se jo dobi kot:

$(I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots \!\,,$

kjer je:

• • $I\!\,$ – enotska matrika $n\times n\!\,$
  • v vsoti samo končno število vrednosti različnih od nič
• če je matrika $N\!\,$ nilpotentna, potem velja tudi:

$\det(I+N)=1\!\,,$

kjer je:

• • $I\!\,$ – enotska matrika $n\times n\!\,$

Velja tudi obratno: Če za matriko $A\!\,$ velja $\det(I+tA)=1\!\,$, potem je matrika $A\!\,$ nilpotentna.

• vsaka singularna matrika se lahko zapiše kot zmnožek nilpotentnih matrik. Matrika $A\!\,$ je nilpotentna samo, če in samo če so njene lastne vrednosti enake 0.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Nipotentna matrika Arhivirano 2008-08-29 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Milpotentna transformacija na PlanetMath (angleško)
• Nilpotentna matrika na MathWorld (angleško)