1 + 1 + 1 + 1 + ···

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
(Preusmerjeno s strani 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·)
Skoči na: navigacija, iskanje
Vrsta 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
Po glajenju
Asimptotično obnašanje glajenja. Premica seka os y v točki −1/2, kar je zeta-regularizirana vsota vrste.[1]

1 + 1 + 1 + 1 + ··· je v matematiki divergentna geometrična vrsta, kar pomeni, da nima vsote v običajnem smislu. Njene delne vsote naraščajo brez meja in ne konvergirajo k realni limiti. Enake so naravnim številom (OEIS A000027):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

Z znakom za vsoto lahko vrsto zapišemo kot:

ali preprosto:

Na zaporedje lahko gledamo kot na geometrično vrsto s količnikom 1. Za razliko od drugih geometričnih vrst z racionalnim količnikom (razen -1) ne konvergira v realnih številih in tudi ne v p-adičnih številih za poljuben p. V smislu razširjene realne premice je vsota enaka:

ker njeno zaporedje delnih vsot narašča monotono brez meja.

Če se vrsta 1 + 1 + 1 + 1 + ··· pojavi pri fizikalnih problemih, jo lahko včasih predstavimo s pomočjo regularizacije s funkcijo ζ. Njena vrednost je enaka vrednosti v točki s = 0 Riemannove funkcije ζ:

kjer sta dve neskončni vsoti enaki znotraj območja, v katerem obe konvergirata (kompleksna števila z realnim delom večjim od 1). Druga vsota zagotavlja analitično nadaljevanje funkcije ζ na kompleksna števila s pozitivnim realnim delom, limita druge vsote, ko gre s proti 0, pa je enaka -1/2. V tem smislu je tako:

Elizalde je podal naslednjo anekdoto o odnosih do vrste:

 »V kratkem obdobju manj kot enega leta sta imela dva priznana fizika, A. Slavnov in F. Yndurain, seminarja v Barceloni o dveh različnih temah. Nenavadno pri tem je bilo to, da sta oba predavatelja v nekem trenutku rekla poslušalcem: 'Kot vsakdo ve, velja: 1 + 1 + 1 + ··· = −12'. S tem sta morda hotela reči: Če tega ne veste, potem nima smisla da poslušate naprej.[2]

Tudi njena ustrezna alternirajoča vrsta:

včasih imenovana Grandijeva vrsta, je divergentna.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]