Vztrajnostni moment

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Skakalki v vodo zmanjšata svoj vztrajnostni moment, da bi povečali hitrost vrtenja

Másni vztrájnostni momênt je fizikalna vektorska količina, določena kot sorazmernostni koeficient med navorom in kotnim pospeškom pri vrtenju togega telesa okrog nepremične osi. Vztrajnostni moment za krožno gibanje pomeni podobno kot masa pri translaciji. Količina nastopa v drugem Newtonovem zakonu in enačbi za gibalno količino za vrtenje in v enačbi za vrtilno kinetično energijo, kjer navor, kotna hitrost in kotni pospešek zamenjajo silo, hitrost in pospešek.

Vztrajnostni moment v slovenski literaturi po navadi zapišemo s črko J, v tujejezični pa s črko I. Ločimo tudi vztrájnostni momênt plòskve, tega pa zapišemo s črko I.

Masni vztrajnostni moment[uredi | uredi kodo]

Vztrajnostni moment (tudi masni vztrajnostni moment, za razliko od vztrajnostnega momenta ploskve) telesa je odvisen od njegove oblike in porazdelitve mase znotraj te oblike: več mase leži stran od osi vrtenja, večji je vztrajnostni moment. Za dano maso m in polmer r imamo glede na povečanje vztrajnostnega momenta togo kroglo in valj, ter votlo kroglo in valj cmr2, s c = 2/5, 1/2, 2/3 in 1. Splošno enačbo za vztrajnostni moment zapišemo z integralom.

Vztrajnostni moment točkastega telesa z maso m, ki kroži po krožnici s polmerom r, je enak:

 J = mr^{2} \!\, .

Togo telo si lahko predstavljamo kot neskončno število neskončno majhnih delcev, ki ima vsak maso m_{i}. Če je vsak del delec na razdalji r_i od določene osi vrtenja, je vztrajnostni moment trdnega telesa okoli te osi dan z:

 J = \sum_{i} r_{i}^{2} m_{i} \!\, .

Zvezna porazdelitev mase zahteva neskončno vsoto vseh masnih točk. To dosežemo z integriranjem vseh mas \mathrm{d} m v trorazsežnem prostoru:

 J = \int r_\perp^{2} \, \mathrm{d} m \!\, .

\mathrm{d} m je določena s prostorsko porazdelitvijo gostote ρ:

 \mathrm{d} m=\rho \, \mathrm{d} V \!\, .

Telesa so pri tem homogena, gostota je tako po vsem telesu konstantna.

Vztrajnostni momenti so aditivni.

Vztrajnostni moment ploskve[uredi | uredi kodo]

Aksialni vztrajnostni moment ploskve je vsota elementarnih ploščin in kvadratov razdalj njihovih težišč od izbrane osi, npr. od osi x ali y:

 I_{x} = \int y^{2} \, \mathrm{d} S \; ; \qquad\qquad I_{y} = \int x^{2} \, \mathrm{d} S \!\, .

Vztrajnostni moment ploskve je vedno pozitiven.

Masni vztrajnostni momenti nekaterih preprostih teles[uredi | uredi kodo]

ponazoritev enačba/vrednost zgledi
Točasto telo točkasto telo pri vrtenju okrog lastne osi (telesna os)
 0 \!\,
 
Fizvm masna tocka000.png točkasto telo pri kroženju (zunanja os x)
 J_{x} = m r^2 \!\,
nitno nihalo
Fizvm valj000.png plašč valja (simetrijska os)
 J_{z} = m r^2 \!\,
 
Fizvm valj000-1.png (pravokotna os na sredi)
 J_{x} = J_{y} = {1\over 2} mr^2 + {1\over 12} m h^2 \!\,
 
Fizvm valj001.png valj (simetrijska os)
 J_{z} = {1\over 2} m r^2 \!\,
 
Fizvm valj001tv.png valj (tvorilkina os ζ)
 J_{\zeta} = {3\over 2} m r^2 \!\,
 
Fizvm valj002.png (pravokotna os na sredi)
 J_{x} = J_{y} = {1\over 4} mr^2 + {1\over 12} m h^2 \!\,
 
Fizvm valj002-1.png (poljubna os pod kotom φ)
 J_{\varphi} = {1\over 12} m\left[3r^2(1+\cos^2 \varphi)+ h^2 \sin^2 \varphi\right] \!\,
 
Fizvm valj003.png votel valj (simetrijska os)
 J_{z} = {1\over 2} m (R^2 + r^2) \!\,
 
Fizvm palica004.png tanka palica (pravokotna os na sredi)
 J_{x} = J_{y} = {1\over 12} m l^2 \!\,
 
Fizvm palica004-1.png tanka palica (pravokotna os skozi krajišče)
 J_{K} = {1\over 3} m l^2 \!\,
 
Fizvm piramida000.png kvadratna piramida (simetrijska os)
 J_{z} = {1\over 10} m a^2 \!\,
 
Fizvm piramida000-1.png kvadratna piramida (pravokotna os skozi težišče)
 J_{x} = J_{y} = {1\over 20} m \left[ a^2 + {3\over4} h^2\right] \!\,
 
Fizvm stozec000-0.png plašč stožca (simetrijska os)
 J_{z} = {1\over 2} m r^2 \!\,
 
Fizvm stozec000.png stožec (simetrijska os)
 J_{z} = {3\over 10} m r^2 \!\,
 
Fizvm stozec000-1.png stožec (pravokotna os skozi težišče)
 J_{x} = J_{y} = {3\over 20} m \left[ r^2 + {1\over4} h^2\right] \!\,
 
Fizvm krogla005.png krogelna lupina (tanke stene) (simetrijska os)
 J_{z} = J_{x} = J_{y} = {2\over 3} m r^2 \!\,
 
Fizvm krogla005-1.png krogla (simetrijska os)
 J_{z} = J_{x} = J_{y} = {2\over 5} m r^2 \!\,
 
Fizvm krogla005-2.png votla krogla (simetrijska os)
 J_{z} = J_{x} = J_{y} = {2\over 5} m {{R^5 - r^5}\over {R^3 - r^3}} \!\,
 
Fivzvm svitek006.png svitek (simetrijska os)
 J_{z} = m \left[ R^2 +  {3\over 4} r^2\right] \!\,
 
Fizvm svitek006-1.png svitek (pravokotna os skozi težišče)
 J_{x} = J_{y} = {1\over 8} m \left( 4 R^2 +  5 r^2\right) \!\,
 
Fizvm svitek eli000.png eliptični svitek (simetrijska os)

 

 
Fizvm svitek eli001.png eliptični svitek (pravokotna os skozi težišče)

 

 
Fizvm kocka000.png kocka (simetrijska os)
 J_{z} = J_{x} = J_{y} = {1\over 6} m a^2 \!\,
 
Fizvm plosca007.png kvader
 J_{z} = {1\over 12} m (a^2 + b^2) \!\,
 
Fizvm plosca007-1.png
J_{x} = {1\over 3} m a^2 \!\,
 
Fizvm rot elipsoid000.png sploščen rotacijski elipsoid (sploščen sferoid)

(a = r, b = c = r(1 + ε) a > c)
(polarna os)

 J_{z} = {2\over 5} m r^2 (1+\varepsilon)^2 \!\,
vrtenje Zemlje, planeta, nevtronske zvezde
Fizvm rot elipsoid001.png sploščen rotacijski elipsoid (sploščen sferoid)

(a < c)
(ekvatorski osi)
raztegnjen rotacijski elipsoid (raztegnjen sferoid)
(glavna os)

 J_{x} = J_{y} = {1\over 5} m r^2 (1+(1+\varepsilon)^2) \!\,

 

  elipsoid (glavna os)
 J_{x} = {1\over 5} m \left(b^2 + c^2\right) \!\,

elipsoid (y-os)

 J_{y} = {1\over 5} m \left(a^2 + c^2\right) \!\,

elipsoid (z-os)

 J_{z} = {1\over 5} m \left(a^2 + b^2\right) \!\,
dinamični model
gibanja jedra
Halleyjevega kometa

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]