Kinetična energija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Vozički vlaka smrti dosežejo svojo največjo kinetično energijo na dnu svoje krive poti. Pri dvigovanju se njihova kinetična energija začne spreminjati v gravitacijsko potencialno energijo. Vsota kinetične in potencialne energije v sistemu ostaja konstantna, če zanemarimo trenje. Na sliki jekleni vlak smrti Millennium Force v Cedar Pointu, Sandusky, Ohio, visok 94 m

Kinétična energíja je energija, ki jo ima telo zaradi svojega gibanja. Izračunamo jo lahko kot delo, potrebno, da telo spravimo v gibanje.

Kinetična energija v klasični mehaniki[uredi | uredi kodo]

Točkasto telo se lahko giblje le translacijsko, s čimer je povezana translacijska kinetična energija:

 W_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} \!\, .

Pri tem je m masa telesa, v pa njegova hitrost.

Telesa, ki niso točkasta, se lahko tudi vrtijo okrog svoje osi. S tem je povezana vrtilna ali rotacijska kinetična energija

 W_{k} = \frac{1}{2} J \omega^{2} \!\, .

Pri tem je J vztrajnostni moment telesa, ω pa njegova kotna hitrost.

V splošnem lahko vsako gibanje togega telesa razstavimo na translacijsko gibanje ter vrtenje okrog lastne osi, zato lahko njegovo kinetično energijo izračunamo kot vsoto translacijske kinetične energije težišča ter vrtilne kinetične energije pri vrtenju okrog osi, ki prebada težišče.

Izpeljava kinetične energije[uredi | uredi kodo]

Delo, ki ga opravi točkasto telo pri pospeševanju v infinitezimalnem časovnem intervalu dt, je dano kot skalarni produkt sile in premika prijemališča sile (poti):

 A = \vec\mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = 
\vec\mathbf{F} \cdot ( \vec\mathbf{v} d t ) = 
m \frac{d \vec\mathbf{v}}{d t} \cdot ( \vec\mathbf{v} d t ) =
m d \vec\mathbf{v} \cdot \vec\mathbf{v} \!\, .

Masa m je pri tem konstantna. S pravilom za odvod (skalarnega) produkta je:

  d(\vec\mathbf{v} \cdot \vec\mathbf{v}) = (d \vec\mathbf{v}) \cdot \vec\mathbf{v} + \vec\mathbf{v} \cdot (d \vec\mathbf{v}) =  2(\vec\mathbf{v} \cdot d \vec\mathbf{v}) \!\, .

Velja naprej:

 m d \vec\mathbf{v} \cdot \vec\mathbf{v} =
\frac{m}{2} d (\vec\mathbf{v} \cdot \vec\mathbf{v}) = 
\frac{m}{2} d (v^{2}) \!\,

in:

 W_{k} = \int \frac{m}{2} \frac{d}{dt} (v^{2}) dt = 
\frac{m}{2} \int \frac{d}{dt} (v^{2}) dt = \frac{1}{2} m v^{2} \!\, .

Tu je d (v^{2}) popolni diferencial, ki je odvisen le od končnega stanja, ne pa kako je telo vanj prišlo.

Za toga telesa velja:

 W_{k} = \int \frac{v^{2} d m}{2} = \int \frac{(r\omega )^{2} d m}{2} = \frac{\omega^{2}}{2} \int r^{2} d m = \frac{\omega^{2}}{2} J = \frac{1}{2} J \omega^{2} \!\, .

Kinetična energija v relativistični mehaniki[uredi | uredi kodo]

V posebni teoriji relativnosti navadno označujemo kinetično energijo s črko T. Kinetična energija delca z maso m, ki se giblje s hitrostjo v, je definirana kot razlika polne in lastne energije:

T = W - W_0 = m c_0^2 \left[ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c_0^2}}} -1 \right]

Pri tem je W polna energija, W0 lastna energija in c0 hitrost svetlobe v praznem prostoru.

Kinetična energija je sestavljena iz dveh členov, od katerih je prvi - polna energija - komponenta vektorja četverca gibalne količine, drugi - lastna energija - pa skalar.

Kinetična energija v kvantni mehaniki[uredi | uredi kodo]

V kvantni mehaniki ustreza kinetični energiji operator kinetične energije, ki deluje v prostoru valovnih funkcij. Definiramo ga posredno prek operatorja gibalne količine:

\hat{T}=\frac{\hat{p}^2}{2m}