Skalarni produkt

Skalárni prodúkt je matematična operacija, ki dvema vektorjema priredi število (skalar). Rezultat izračunamo kot produkt dolžin obeh vektorjev in kosinusa vmesnega kota (vmesni kot je kot φ, ki ga vektorja oklepata, če izhajata iz skupne začetne točke). Simbol za skalarni produkt je pika, ki pa jo lahko tudi izpuščamo:

$\vec a\cdot\vec b = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\varphi$

$\vec a \vec b = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\varphi$

Definicija

Skalarni produkt vektorjev a = [a₁, a₂, ... , a_n] in b = [b₁, b₂, ... , b_n] je definiran kot:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

kjer Σ pomeni Vsoto in n dimenzijo vektorskega prostora.

V dvodimenzionalnem prostoru je tako produkt vektorjev [a,b] in [c,d] enak ac + bd.

Podobno je v trirazsežnem prostoru produkt vektorjev [a,b,c] in [d,e,f] enak ad + be + cf.

Primer:$:[1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] = 1 \times 4 + 3 \times (-2) + (-5) \times (-1) = 4 - 6 + 5 = 3.$

Lastnosti skalarnega produkta

Skalarni produkt je komutativen.

$\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a$

Skalarni produkt je distributiven.

$(\vec a + \vec b)\vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c$

Velja homogenost:

$n(\vec a\cdot\vec b) = (n\vec a)\vec b = \vec a(n\vec b)$

Asociativnost za skalarni produkt ne velja.

$(\vec a\cdot\vec b)\cdot\vec c \ne \vec a\cdot(\vec b\cdot\vec c)$

Skalarni produkt vektorja s samim sabo je enak kvadratu dolžine vektorja, saj je vmesni kot v tem primeru enak 0° (cos 0° = 1):

$\vec a \vec a=|\vec a|^2$

Skalarni produkt medsebojno pravokotnih vektorjev je enak 0, saj je kosinus vmesnega kota enak nič (cos 90° = 0):

$\vec a\bot\vec b \iff \vec a\vec b =0$

Posplošitev skalarnega produkta

Izraz skalarni produkt uporabljamo tudi v širšem smislu besede.

Posplošeni skalarni produkt (ali skalarni produkt v širšem smislu besede) je računska operacija, ki ima iste osnovne lastnosti kot običajni skalarni produkt. Takšno operacijo imenujemo tudi notranji produkt.

Definicija notranjega produkta

Imejmo vektorski prostor V nad komutativnim obsegom F (v praksi je F običajno množica realnih ali pa množica kompleksnih števil).

Notranji produkt je preslikava, ki dvema vektorjema iz V priredi element obsega F. Rezultat označimo kot $\langle x,y\rangle$ ali (x,y) ali kar preprosto x y.

Za notranji produkt morajo veljati naslednje lastnosti (za poljubne vektorje x,y in z ter za poljubna a in b iz obsega F):

• konjugirana simetrija:

$\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}$

Opomba: Če je F obseg realnih števil, to pomeni preprosto simetričnost $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle$, v kompleksnem pa je treba upoštevati še konjugiranje.

• Linearnost (v prvem faktorju):

$\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle$

$\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle$

Lastnosti

Če upoštevamo definicijske lastnosti, vidimo, da velja tudi:

• Linearnost v drugem faktorju (s konjugiranjem, če je b kompleksno število):

$\langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle$

$\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle$

• Pozitivna definitnost:

$\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}^+$ za vsak x različen od 0

Evklidski prostor

S pomočjo notranjega produkta lahko v vektorski prostor V uvedemo mero za merjenje dolžin in kotov. Tako opremljen vektorski prostor imenujemo evklidski prostor.

Dolžino vektorja x definiramo kot:

$||x||=\sqrt{\langle x, x\rangle}$

Razdaljo med vektorjema x in y definiramo kot:

$d(x,y)=||x-y||\,\!$

Kot med vektorjema x in y pa definiramo kot:

$<\!\!\!)\,(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y\rangle}{||x||~||y||}$