Transponirana matrika

Transponirana matrika (oznaka $A^{T}\,$, včasih tudi včasih tudi $^{\operatorname t}\!A$) je matrika, ki nastane iz matrike $A \,$ pri eni izmed naslednjih enakovrednih operacij:

• zapišemo vrstice matrike $A \,$ kot stolpce matrike $A^{T}\,$
• zapišemo stolpce matrike $A \,$ kot vrstice matrike $A^{T}\,$
• zrcalimo matriko $A \,$ preko glavne diagonale
• zavrtimo matriko $A \,$ za 90º v smeri gibanja urinega kazalca in zrcalimo sliko vodoravno, da dobimo $A^{T}\,$.

To pomeni da vsi $a_{ij} \,$ postanejo $a_{ji} \,$. Postopek zamenjave vrstic in stolpcev imenujemo transponiranje matrike.

Zgledi

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \,$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \,$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \; \,$

Značilnosti

Za matriki $A \,$, $B \,$ in skalar $c \,$ so znane naslednje značilnosti transponiranja matrik:

• $\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,$

• $(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,$

Transpozicija vsote matrik je vsota transponiranih matrik.

• $\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$

Opozorilo: vrstni red množiteljev je obrnjen. Iz tega lahko zaključimo, da je kvadratna matrika $A \,$ obrnljiva matrika (obstoja inverzna), samo, če je obrnljiva tudi $A^T \,$, v tem primeru je $(A^{-1})^T =(A^T) ^{-1} \,$

• $(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$

Transponiranje skalarja nam da isti skalar.

• $\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,$

Determinanta kvadratne matrike je enaka determinanti transponirane.

• Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ju določata stolpca ($a \,$ in $b \,$) se izračuna kot

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$

kjer je uporabljen Einsteinov zapis za $a_jb^{j} \,$

• $(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,$

Transponirana matrika obrnljive matrike (inverzne) je tudi obrnljiva matrika, njena obrnjena matrika je transponirana obrnjene originalne matrike.

• Če je $A \,$ kvadratna matrika, potem so njene lastne vrednosti enake lastnim vrednostim njene transponirane matrike.

Posebne transponirane matrike

• Kvadratna matrika, katere transponirana je enaka sama sebi, je simetrična matrika

$\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}.\,$

• Kvadratna matrika, katere transponirana je tudi obrnjena, se imenuje ortogonalna matrika. To pomeni ga je matrika $G \,$ ortogonalna, če je

$\mathbf{G G}^\mathrm{T} = \mathbf{G}^\mathrm{T} \mathbf{G} = \mathbf{I}_n , \,$, kjer je $I_n \,$ enotska matrika za katero velja $I^T = I^{-1} \,$

• Kvadratna matrika, katere transponirana, je enaka negativni, je poševnosimetrična matrika, to pomeni, da je $A \,$ poševnosimetrična, če je

$\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A}.\,$

• Konjugirano transponirana matrika kompleksne matrike $A \,$ , ki jo zapišemo kot $A^{*} \,$, se dobi s transponiranjem matrike $A \,$ in spremembo vseh elementov v konjugirano kompleksne vrednosti

$\mathbf{A}^* = (\overline{\mathbf{A}})^{\mathrm{T}} = \overline{(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})}.$

Zunanje povezave

• Transponiranje matrik na MathWorld (v angleščini)