Transponirana matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Transponirana matrika (oznaka A^\mathrm{T}\,, včasih tudi ^{\operatorname t}\!A) je matrika, ki nastane iz matrike  A \, pri eni izmed naslednjih enakovrednih operacij:

  • zapišemo vrstice matrike  A \, kot stolpce matrike A^\mathrm{T}\,
  • zapišemo stolpce matrike  A \, kot vrstice matrike A^\mathrm{T}\,
  • zrcalimo matriko  A \, preko glavne diagonale
  • zavrtimo matriko  A \, za 90º v smeri gibanja urinega kazalca in zrcalimo sliko vodoravno, da dobimo A^\mathrm{T}\,.

To pomeni da vsi  a_{ij} \, postanejo  a_{ji} \,. Postopek zamenjave vrstic in stolpcev se imenuje transponiranje matrike in je zgled enočlene operacije.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1   \\
2  \end{bmatrix}
\,
  • \begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}
\,
  • 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;
\,

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Za matriki A \,, B \, in skalar c \, so znane naslednje značilnosti transponiranja matrik:

  • \left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,
  • (\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,
Transpozicija vsote matrik je vsota transponiranih matrik.
  • \left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
Opozorilo: vrstni red množiteljev je obrnjen. Iz tega lahko zaključimo, da je kvadratna matrika A \, obrnljiva matrika (obstoja inverzna), samo, če je obrnljiva tudi  A^T \,, v tem primeru je (A^{-1})^T =(A^T) ^{-1} \,
  • (c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
Transponiranje skalarja nam da isti skalar.
  • \det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,
Determinanta kvadratne matrike je enaka determinanti transponirane.
  • Skalarni produkt dveh vektorjev, ki ju določata stolpca ( a \, in  b \,) se izračuna kot
 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},
kjer je uporabljen Einsteinov zapis za  a_jb^{j} \,
  • (\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,
Transponirana matrika obrnljive matrike (inverzne) je tudi obrnljiva matrika, njena obrnjena matrika je transponirana obrnjene originalne matrike.
  • Če je  A \, kvadratna matrika, potem so njene lastne vrednosti enake lastnim vrednostim njene transponirane matrike.

Posebne transponirane matrike[uredi | uredi kodo]

\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}.\,
  • Kvadratna matrika, katere transponirana je tudi obrnjena, se imenuje ortogonalna matrika. To pomeni ga je matrika  G \, ortogonalna, če je
\mathbf{G G}^\mathrm{T} = \mathbf{G}^\mathrm{T} \mathbf{G} = \mathbf{I}_n , \,, kjer je I_n \, enotska matrika za katero velja I^T = I^{-1} \,
  • Kvadratna matrika, katere transponirana, je enaka negativni, je poševnosimetrična matrika, to pomeni, da je  A \, poševnosimetrična, če je
\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A}.\,
\mathbf{A}^* = (\overline{\mathbf{A}})^{\mathrm{T}} = \overline{(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})}.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]