Vektorski produkt

Véktorski prodúkt je binarni operator v trirazsežnem prostoru. Rezultat je trirazsežni vektor, ki je pravokoten na oba vektorja. Operacija ni komutativna; če zamenjamo vrstni red vektorjev, bo rezultat vektor z enako dolžino, vendar bo usmerjen v nasprotno smer. Dolžina vektorja je enaka ploščini paralelograma, katerega nevzporedni stranici sta vektorja. Vektorski produkt dveh linearno odvisnih vektorjev je enak ničelnemu vektorju. Če sta vektorja $\vec a$ in $\vec b$ v desnosučni ortonormalni bazi definirana kot

$\vec \mathbf{a} =\begin{Vmatrix}a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{Vmatrix}$

in

$\vec \mathbf{b} =\begin{Vmatrix}b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{Vmatrix},$

se njun vektorski produkt izračuna kot:

$\vec \mathbf{a} \times \vec \mathbf{b} =\begin{Vmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y} \\ a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z} \\ a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x} \end{Vmatrix}.$

Pravilo si lažje zapomnimo kot determinanto matrike, kjer v prvo vrstico zapišemo vse tri bazne vektorje, v drugo vrstico komponente prvega vektorja, v tretjo vrstico pa komponente drugega vektorja, in determinanto razvijemo po prvi vrstici:

$\vec \mathbf{a} \times \vec \mathbf{b} =\begin{vmatrix} \vec \mathbf{i} & \vec \mathbf{j} & \vec \mathbf{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}.$

Grafična predstavitev

Če v skupni ravnini obeh vektorjev kot med njima označimo s $\varphi$, je dolžina vektorskega produkta enaka:

$\left| \vec \mathbf{a} \times \vec \mathbf{b} \right| = \left| \vec \mathbf{a} \right| \cdot \left| \vec \mathbf{b} \right| \cdot \sin \varphi.$

Smer lahko določimo tako, da prvi vektor v njuni skupni ravnini zavrtimo do drugega v tisti smeri, kjer je zasuk krajši, in smer določimo po pravilu desnosučnega vijaka.

Lastnosti

• Vektorski produkt je antikomutativen:

$\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} = - \vec\mathbf{b} \times \vec\mathbf{a} \!\, ,$

• Vektorski produkt je distributiven za seštevanje:

$\vec\mathbf{a} \times (\vec\mathbf{b} + \vec\mathbf{c} ) = \vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} + \vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{c} \!\, ,$

• Pri množenju s skalarjem lahko tega izpostavimo; (homogenost za množenje z realnim številom):

$(r \vec\mathbf{a} ) \times \vec\mathbf{b} = \vec\mathbf{a} \times (r \vec\mathbf{b} ) = r (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b}) \!\, ,$

• Vektorski produkt ni asociativen:

$\vec\mathbf{a} \times (\vec\mathbf{b} \times \vec\mathbf{c} ) \ne (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b} ) \times \vec\mathbf{c} \!\, ;$

zanj pa velja Jacobijeva enakost:

$\vec\mathbf{a} \times (\vec\mathbf{b} \times \vec\mathbf{c} ) + \vec\mathbf{b} \times (\vec\mathbf{c} \times \vec\mathbf{a} ) + \vec\mathbf{c} \times (\vec\mathbf{a} \times \vec\mathbf{b}) = 0 \!\, .$

Zunanje povezave

• http://www.e-studij.si/Vektorski_produkt