Véktorski prodúkt je binarni operator v trirazsežnem prostoru . Rezultat je trirazsežni vektor , ki je pravokoten na oba vektorja. Operacija ni komutativna ; če zamenjamo vrstni red vektorjev, bo rezultat vektor z enako dolžino , vendar bo usmerjen v nasprotno smer. Dolžina vektorja je enaka ploščini paralelograma , katerega nevzporedni stranici sta vektorja. Vektorski produkt dveh linearno odvisnih vektorjev je enak ničelnemu vektorju . Če sta vektorja
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
bazi definirana kot
a
→
=
‖
a
x
a
y
a
z
‖
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}={\begin{Vmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{Vmatrix}}}
in
b
→
=
‖
b
x
b
y
b
z
‖
,
{\displaystyle {\vec {\mathbf {b} }}={\begin{Vmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{Vmatrix}},}
se njun vektorski produkt izračuna kot:
a
→
×
b
→
=
‖
a
y
b
z
−
a
z
b
y
a
z
b
x
−
a
x
b
z
a
x
b
y
−
a
y
b
x
‖
.
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}={\begin{Vmatrix}a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\\a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\\a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\end{Vmatrix}}.}
Pravilo si lažje zapomnimo kot determinanto matrike , kjer v prvo vrstico zapišemo vse tri bazne vektorje , v drugo vrstico komponente prvega vektorja, v tretjo vrstico pa komponente drugega vektorja, in determinanto razvijemo po prvi vrstici:
a
→
×
b
→
=
|
i
→
j
→
k
→
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
|
.
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}={\begin{vmatrix}{\vec {\mathbf {i} }}&{\vec {\mathbf {j} }}&{\vec {\mathbf {k} }}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.}
Vektorski produkt
Če v skupni ravnini obeh vektorjev kot med njima označimo s
φ
{\displaystyle \varphi }
|
a
→
×
b
→
|
=
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
⋅
sin
φ
.
{\displaystyle \left|{\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}\right|=\left|{\vec {\mathbf {a} }}\right|\cdot \left|{\vec {\mathbf {b} }}\right|\cdot \sin \varphi .}
Smer lahko določimo tako, da prvi vektor v njuni skupni ravnini zavrtimo do drugega v tisti smeri, kjer je zasuk krajši, in smer določimo po pravilu desnosučnega vijaka .
a
→
×
b
→
=
−
b
→
×
a
→
,
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}=-{\vec {\mathbf {b} }}\times {\vec {\mathbf {a} }}\!\,,}
a
→
×
(
b
→
+
c
→
)
=
a
→
×
b
→
+
a
→
×
c
→
,
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\times ({\vec {\mathbf {b} }}+{\vec {\mathbf {c} }})={\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }}+{\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {c} }}\!\,,}
Pri množenju s skalarjem lahko tega izpostavimo; (homogenost za množenje z realnim številom):
(
r
a
→
)
×
b
→
=
a
→
×
(
r
b
→
)
=
r
(
a
→
×
b
→
)
,
{\displaystyle (r{\vec {\mathbf {a} }})\times {\vec {\mathbf {b} }}={\vec {\mathbf {a} }}\times (r{\vec {\mathbf {b} }})=r({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})\!\,,}
a
→
×
(
b
→
×
c
→
)
≠
(
a
→
×
b
→
)
×
c
→
;
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\times ({\vec {\mathbf {b} }}\times {\vec {\mathbf {c} }})\neq ({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})\times {\vec {\mathbf {c} }}\!\,;}
zanj pa velja Jacobijeva enakost :
a
→
×
(
b
→
×
c
→
)
+
b
→
×
(
c
→
×
a
→
)
+
c
→
×
(
a
→
×
b
→
)
=
0
.
{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\times ({\vec {\mathbf {b} }}\times {\vec {\mathbf {c} }})+{\vec {\mathbf {b} }}\times ({\vec {\mathbf {c} }}\times {\vec {\mathbf {a} }})+{\vec {\mathbf {c} }}\times ({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})=0\!\,.}
