Obratna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Obratna matrika (oznaka A^{-1} \, za matriko  A \,) (tudi inverzna matrika ali nesingularna matrika ali nedegenerirana) neke kvadratne matrike  A \, je takšna matrika, ki pri množenju z matriko  A \, daje enotsko matriko

A \cdot A^{-1} = I \,

kjer je

Velja tudi

\mathbf{AB}= \mathbf{BA}  = \mathbf{I} \

Za matrike, ki imajo obratno matriko, pravimo, da so obrnljive. Matrika je obrnljiva samo, če je nesingularna. Nekvadratne matrike nimajo obratne matrike ( m \ne n \,). V nekaterih primerih lahko določimo levo in desno obratno matriko. Kadar ima matrika  A \, razsežnost  m \times n \, in je njen rang enak  n \,, potem ima matrika  A \, levo obratno matriko tako, da velja  B.A =I \, in ima matrika  B \, razsežnost  n \times m \,. Kadar pa ima matrika  A \, rang enak  m \,, potem ima desno obratno matriko  B \, z  n \times m \,, tako, da je  A.B = I \,.

Lastnosti obratne matrike[uredi | uredi kodo]

  • \det (A^{-1}) = \frac{1}{\det A}
kjer je
\det A \, determinanta matrike  A \,
  • (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\, za poljubni dve obrnljivi matriki A in B
  • (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \,
kjer je
A^T \, transponirana matrika
  • (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1} \, za poljuben koeficient k\not=0
  • \left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{-1} = \mathbf{A} \,
  • \left(k\mathbf{A}\right)^{-1} = k^{-1}\mathbf{A}^{-1} za poljuben od nič različen skalar  k \,
  • (\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,
  • za obrnljivi matriki  A \, in  B \, z  n \times n \, velja
\left(\mathbf{AB}\right)^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}. Bolj splošno lahko tudi napišemo, če so  A_1, \cdots, A_k \, obrnljive  n \times n \, matrike, potem je \left(\mathbf{A_1A_2\cdots A_k}\right)^{-1} = \mathbf{A}_k^{-1}\mathbf{A}_{k-1}^{-1}\cdots\mathbf{A}_1^{-1}
  • \det(\mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A})^{-1}

Določanje obratne matrike[uredi | uredi kodo]

Cramerjevo pravilo[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Cramerjevo pravilo.

Za določitev obratne matrike najprej napišemo matriko kofaktorjev (adjungirana matrika)

\mathbf{A}^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}^{\mathrm{T}}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}
\begin{pmatrix}
\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{n1} \\
\mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{C}_{1n} & \mathbf{C}_{2n} & \cdots & \mathbf{C}_{nn} \\
\end{pmatrix}

kjer je

Gauss-Jordanova eliminacija[uredi | uredi kodo]

Gauss-Jordanova eliminacija omogoča ugotoviti, če je neka matrika obrnljiva in določiti tudi obratno matriko. Uporablja se samo za kvadratne matrike. V postopku najprej dano matriko povečamo z enotsko matriko istega reda (dobimo obliko  AI \,). Nato z enostavnimi matričnimi operacijami matriko privedemo v obliko  IA^{-1}\, (na levi strani imamo enotsko matriko, na desni pa obratno matriko prvotne). Obratno matriko preberemo na desni strani nastale matrike. Podobna metoda se uporablja tudi za reševanje sistema linearnih enačb (Gaussova eliminacijska metoda).

Obratna matrika matrike  2 \times 2 [uredi | uredi kodo]

Obratno matriko matrike z razsežnostjo 2 \times 2 \, lahko dobimo na naslednji način

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}.

Obratna matrika matrike  3 \times 3 [uredi | uredi kodo]

Obratno matriko v primeru, da imamo matriko z razsežnostjo  3 \times 3 \, pa dobimo iz

\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{Z} \begin{bmatrix}
\, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\
\end{bmatrix}

kjer je

Če je Z različen od 0, je matrika obrnljiva in ima naslednje elemente (glej zgoraj)

\begin{matrix}
A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\
B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\
C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\
\end{matrix}

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]