Obratna matrika

Obratna matrika (oznaka $A^{-1} \,$ za matriko $A \,$) (tudi inverzna matrika ali nesingularna matrika ali nedegenerirana) neke kvadratne matrike $A \,$ je takšna matrika, ki pri množenju z matriko $A \,$ daje enotsko matriko

$A \cdot A^{-1} = I \,$

kjer je

• $I \,$ enotska matrika reda n (razsežnosti $n \times n \,$)
• $A^{-1} \,$ obratna matrika matrike $A \,$.

Velja tudi

$\mathbf{AB}= \mathbf{BA} = \mathbf{I} \$

Za matrike, ki imajo obratno matriko, pravimo, da so obrnljive. Matrika je obrnljiva samo, če je nesingularna. Nekvadratne matrike nimajo obratne matrike ($m \ne n \,$). V nekaterih primerih lahko določimo levo in desno obratno matriko. Kadar ima matrika $A \,$ razsežnost $m \times n \,$ in je njen rang enak $n \,$, potem ima matrika $A \,$ levo obratno matriko tako, da velja $B.A =I \,$ in ima matrika $B \,$ razsežnost $n \times m \,$. Kadar pa ima matrika $A \,$ rang enak $m \,$, potem ima desno obratno matriko $B \,$ z $n \times m \,$, tako, da je $A.B = I \,$.

Lastnosti obratne matrike

• $\det (A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$

kjer je

$\det A \,$ determinanta matrike $A \,$

• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\,$ za poljubni dve obrnljivi matriki $A$ in $B$

• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \,$

kjer je

$A^T \,$ transponirana matrika

• $(kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1} \,$ za poljuben koeficient $k\not=0$

• $\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{-1} = \mathbf{A} \,$

• $\left(k\mathbf{A}\right)^{-1} = k^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ za poljuben od nič različen skalar $k \,$

• $(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,$

• za obrnljivi matriki $A \,$ in $B \,$ z $n \times n \,$ velja

$\left(\mathbf{AB}\right)^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$. Bolj splošno lahko tudi napišemo, če so $A_1, \cdots, A_k \,$ obrnljive $n \times n \,$ matrike, potem je $\left(\mathbf{A_1A_2\cdots A_k}\right)^{-1} = \mathbf{A}_k^{-1}\mathbf{A}_{k-1}^{-1}\cdots\mathbf{A}_1^{-1}$

• $\det(\mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A})^{-1}$

Določanje obratne matrike

Cramerjevo pravilo

Za določitev obratne matrike najprej napišemo matriko kofaktorjev (adjungirana matrika)

$\mathbf{A}^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}^{\mathrm{T}}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}} \begin{pmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{n1} \\ \mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{C}_{1n} & \mathbf{C}_{2n} & \cdots & \mathbf{C}_{nn} \\ \end{pmatrix}$

kjer je

• $|A| \,$ determinanta matrike $A \,$
• $C_{ij} \,$ elementi matrike kofaktorjev
• $C^T \,$ transponirana matrika

Gauss-Jordanova eliminacija

Gauss-Jordanova eliminacija omogoča ugotoviti, če je neka matrika obrnljiva in določiti tudi obratno matriko. Uporablja se samo za kvadratne matrike. V postopku najprej dano matriko povečamo z enotsko matriko istega reda (dobimo obliko $AI \,$). Nato z enostavnimi matričnimi operacijami matriko privedemo v obliko $IA^{-1}\,$ (na levi strani imamo enotsko matriko, na desni pa obratno matriko prvotne). Obratno matriko preberemo na desni strani nastale matrike. Podobna metoda se uporablja tudi za reševanje sistema linearnih enačb (Gaussova eliminacijska metoda).

Obratna matrika matrike $2 \times 2$

Obratno matriko matrike z razsežnostjo$2 \times 2 \,$ lahko dobimo na naslednji način

$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}.$

Obratna matrika matrike $3 \times 3$

Obratno matriko v primeru, da imamo matriko z razsežnostjo $3 \times 3 \,$ pa dobimo iz

$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{Z} \begin{bmatrix} \, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\ \end{bmatrix}$

kjer je

• $Z = a(ek-fh)+b(fg-kd)+c(dh-eg) \,$ determinanta dane matrike

Če je Z različen od 0, je matrika obrnljiva in ima naslednje elemente (glej zgoraj)

$\begin{matrix} A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\ B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\ C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\ \end{matrix}$

Zunanje povezave

• Obratna matrika na MathWorld (v angleščini)