Kofaktor (matematika)

Kofaktor (oznaka $C_{ij} \,$ za element $a_{ij} \,$ matrike $A \,$) (tudi adjunkt ali adjunkta) je je v linearni algebri poddeterminanta s predznakom. Uporablja se za izračun vrednosti determinant in obratnih matrik. Vsakemu elementu $(i,j) \,$ matrike lahko pripišemo kofaktor. Kofaktor je vrednost poddeterminante s predznakom.

Poddeterminanta in kofaktor

Elementu $a_{ij} \,$, ki pripada matriki $A \,$, lahko pripišemo poddeterminanto $M_{ij} \,$ tako, da izbrišemo i-tovrstico in j-ti stolpec. Če je $i + j \,$ parno število, je kofaktor $C_{ij} \,$ enak poddeterminanti:

$C_{ij} = M_{ij}. \,$

Če pa je $i + j \,$ liho število, je enak obratni vrednosti poddeterminante

$C_{ij} = -M_{ij}. \,$

V splošni obliki to lahko zapišemo kot

$C_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} \,$

kjer je

• $C_{ij} \,$ kofaktor elementa $a_{ij} \,$
• $M_{ij} \,$ poddeterminanta elementa $a_{ij} \,$.

Primer

Če imamo matriko

$B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ \end{bmatrix}$

in želimo poiskati kofaktor $C_{23} \,$. V tem primeru dobimo poddeterminanto $M_{23} \,$ zgornje matrike, če odstranimo 2. vrstico in 3. stolpec je

$M_{23} = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \Box \\ \Box & \Box & \Box \\ b_{31} & b_{32} & \Box \\ \end{vmatrix}$

Kjer je z $\Box \,$ označen element, ki ga brišemo.

To nam da $M_{23} = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{vmatrix} = b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12}$

Iz tega sledi, da so kofaktorji enaki

$\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23})$

$\ C_{23} = (-1)^{5}(b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12})$

$\ C_{23} = b_{31}b_{12} - b_{11}b_{32}.$.

Razvoj determinante

Če imamo matriko $n \times n \,$ z elementi

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$ ,

lahko vrednost pripadajoče determinante izračunamo z razvojem po j-tem stolpcu:

$\ \det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj}$

Lahko pa jo izračunamo tudi z razvojem po i-ti vrstici

$\ \det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in}$

Matrika kofaktorjev

Matrika kofaktorjev matrike $A \,$ z $n \times n \,$ je matrika, ki ima za elemente kofaktorje $C_{ij} \,$.

Primer: matrika

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

ima naslednjo matriko kofaktorjev

$C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}$

kjer je

• $C_{ij} \,$ kofaktor elementa $a_{ij} \,$.

Adjungirana matrika

Adjungirana matrika se uporablja za določanje obratne matrike $A \,$.

$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \mbox{adj}(\mathbf{A})$.

Adjungirana matrika je matrika kofaktorjev, ki smo jo transponirali.

Primer:
Matrika kofaktorjev

$\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}$,

ki jo transponiramo je

$\mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}.$

kjer je

• $\mathrm{adj}(A) \,$ adjungirana matrika matrike $A \,$.

Zunanje povezave

• Matematika za biologe (v slovenščini)
• Kalkulator za določanje kofaktorjev (v angleščini)
• Kofaktor na MathWorld (v angleščini)