Kofaktor (matematika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kofaktor (oznaka  C_{ij} \, za element a_{ij} \, matrike  A \,) (tudi adjunkt ali adjunkta) je je v linearni algebri poddeterminanta s predznakom. Uporablja se za izračun vrednosti determinant in obratnih matrik. Vsakemu elementu  (i,j) \, matrike lahko pripišemo kofaktor. Kofaktor je vrednost poddeterminante s predznakom.

Poddeterminanta in kofaktor[uredi | uredi kodo]

Elementu  a_{ij} \,, ki pripada matriki  A \,, lahko pripišemo poddeterminanto  M_{ij} \, tako, da izbrišemo i-tovrstico in j-ti stolpec. Če je  i + j \, parno število, je kofaktor  C_{ij} \, enak poddeterminanti:

C_{ij} = M_{ij}. \,

Če pa je  i + j \, liho število, je enak obratni vrednosti poddeterminante

C_{ij} = -M_{ij}. \,

V splošni obliki to lahko zapišemo kot

C_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} \,

kjer je

Primer[uredi | uredi kodo]

Če imamo matriko

 B = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33} \\
\end{bmatrix}

in želimo poiskati kofaktor  C_{23} \,. V tem primeru dobimo poddeterminanto  M_{23} \, zgornje matrike, če odstranimo 2. vrstico in 3. stolpec je

 M_{23} = \begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & \Box \\
\Box & \Box & \Box \\
b_{31} & b_{32} & \Box \\
\end{vmatrix}

Kjer je z  \Box \, označen element, ki ga brišemo.

To nam da  M_{23} = \begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{31} & b_{32} \\
\end{vmatrix} = b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12}

Iz tega sledi, da so kofaktorji enaki

\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23})
\ C_{23} = (-1)^{5}(b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12})
\ C_{23} = b_{31}b_{12} - b_{11}b_{32}..

Razvoj determinante[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Determinanta.

Če imamo matriko  n \times n \, z elementi

 A = \begin{bmatrix}
    a_{11}  & a_{12} & \cdots &   a_{1n}   \\
    a_{21}  & a_{22} & \cdots &   a_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    a_{n1}  & a_{n2} & \cdots &  a_{nn}
\end{bmatrix} ,

lahko vrednost pripadajoče determinante izračunamo z razvojem po j-tem stolpcu:

\ \det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj}

Lahko pa jo izračunamo tudi z razvojem po i-ti vrstici

\ \det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in}


Matrika kofaktorjev[uredi | uredi kodo]

Matrika kofaktorjev matrike  A \, z  n \times n \, je matrika, ki ima za elemente kofaktorje  C_{ij} \,.

Primer: matrika

 A = \begin{bmatrix}
    a_{11}  & a_{12} & \cdots &   a_{1n}   \\
    a_{21}  & a_{22} & \cdots &   a_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    a_{n1}  & a_{n2} & \cdots &  a_{nn}
\end{bmatrix}

ima naslednjo matriko kofaktorjev

 C = \begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{12} & \cdots &   C_{1n}   \\
    C_{21}  & C_{22} & \cdots &   C_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix}

kjer je

  •  C_{ij} \, kofaktor elementa  a_{ij} \,.

Adjungirana matrika[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Adjungirana matrika.

Adjungirana matrika se uporablja za določanje obratne matrike  A \,.

\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \mbox{adj}(\mathbf{A}).

Adjungirana matrika je matrika kofaktorjev, ki smo jo transponirali.

Primer:
Matrika kofaktorjev

 \begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{12} & \cdots &   C_{1n}   \\
    C_{21}  & C_{22} & \cdots &   C_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix} ,

ki jo transponiramo je

 \mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{21} & \cdots &   C_{n1}   \\
    C_{12}  & C_{22} & \cdots &   C_{n2}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    C_{1n}  & C_{2n} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix}.

kjer je

  •  \mathrm{adj}(A) \, adjungirana matrika matrike  A \,.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]