Adjungirana matrika

Adjungirana matrika (tudi prirejena matrika) (oznaka $\mathrm {adj} (A)\,$ ali $A^{*}$, tudi $A^{\dagger }$ in $A^{H}$) se za matriko $A\,$ izračuna tako, da

• določimo poddeterminante, ki jih označimo z $M_{ij}\,$
• določimo kofaktorje $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\,$ oziroma matriko kofaktorjev $C\,$
• dobljeno matriko kofaktorjev transponiramo

S tem smo dobili adjungirano matriko matrike $A\,$

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}\,$.

To pomeni, da je adjugirana matrika matrike $A\,$ z elementi $(i,j)\,$ je matrika kofaktorjev z elementi $(j,i)\,$ (pozor: zaporedje indeksov je obrnjeno).

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )_{ij}=\mathbf {C} _{ji}\,$.

Adjungirana matrika igra podobno vlogo kot obratna matrika, vendar pri določanju te matrike ni potrebno deljenje.

Primeri

Splošna matrika $2\times 2\,$

Imamo splošno matriko $2\times 2\,$

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}$.

Njena adjungirana matrika je

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}$.

Matrika $3\times 3\,$

Imamo matriko $A\,$ z razsežnostjo $3\times 3\,$

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$.

Matrika kofaktorjev

$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}$

Adjungirano matriko dobimo tako, da zgornjo matriko transponiramo:

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}$

kjer je

$\left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)$.

Numerična matrika $3\times 3\,$

Za primer numerične matrike vzemimo:

$\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&18&\!-4\\\!-5&\!12&-1\\\ 4&\!-6&\!2\end{pmatrix}}$.

Lastnosti

Adjunginane matrike imajo naslednje lastnosti

• Adjungirana matrika enotske matrike je enotska matrika

$\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} \,$

• Adjungirana matrika zmnožka matrik je enak zmnožku adjungiranih matrik

$\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,$

za vse matrike $A\,$ in $B\,$, ki imajo razsežnost $n\times n\,$.

• Adjungiranje ohranja transponiranje:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{T}\,$.

• Če je $\mathbf {A}$ nesingularna matrika, potem velja tudi

$\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}.\,$

Adjugiranje se pojavlja tudi v obrazcih za odvod determinante.

Zunanje povezave

• Lastnosti matrik (angleško)