Adjungirana matrika

Adjungirana matrika (tudi prirejena matrika) (oznaka $\mathrm{adj}(A) \,$ ali $A^*$, tudi $A^\dagger$ in $A^H$) se za matriko $A \,$ izračuna tako, da

• določimo poddeterminante, ki jih označimo z $M_{ij} \,$
• določimo kofaktorje $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \,$ oziroma matriko kofaktorjev $C \,$
• dobljeno matriko kofaktorjev transponiramo

S tem smo dobili adjungirano matriko matrike $A \,$

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T \,$.

To pomeni, da je adjugirana matrika matrike $A \,$ z elementi $(i,j) \,$ je matrika kofaktorjev z elementi $(j,i) \,$ (pozor: zaporedje indeksov je obrnjeno).

$\mathrm{adj}(\mathbf{A})_{ij} = \mathbf{C}_{ji} \,$.

Adjungirana matrika igra podobno vlogo kot obratna matrika, vendar pri določanju te matrike ni potrebno deljenje.

Primeri

Splošna matrika $2 \times 2 \,$

Imamo splošno matriko $2 \times 2 \,$

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}$.

Njena adjungirana matrika je

$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}$.

Matrika $3 \times 3 \,$

Imamo matriko $A \,$ z razsežnostjo $3\times 3 \,$

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$.

Matrika kofaktorjev

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

Adjungirano matriko dobimo tako, da zgornjo matriko transponiramo:

$\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} +\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\ & & \\ -\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| \\ & & \\ +\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| \end{pmatrix}$

kjer je

$\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|= \det\left( \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right)$.

Numerična matrika $3 \times 3 \,$

Za primer numerične matrike vzemimo:

$\operatorname{adj}\begin{pmatrix} \!-3 & \, 2 & \!-5 \\ \!-1 & \, 0 & \!-2 \\ \, 3 & \!-4 & \, 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \!-8 & 18 & \!-4 \\ \!-5 & \!12 & -1 \\ \ 4 & \!-6 & \!2 \end{pmatrix}$.

Lastnosti

Adjunginane matrike imajo naslednje lastnosti

• Adjungirana matrika enotske matrike je enotska matrika

$\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}\,$

• Adjungirana matrika zmnožka matrik je enak zmnožku adjungiranih matrik

$\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})\,$

za vse matrike $A \,$ in $B \,$, ki imajo razsežnost $n \times n \,$.

• Adjungiranje ohranja transponiranje:

$\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T\,$.

• Če je $\mathbf{A}$ nesingularna matrika, potem velja tudi

$\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}.\,$

Adjugiranje se pojavlja tudi v obrazcih za odvod determinante.

Zunanje povezave

• Lastnosti matrik (v angleščini)