Cramerjevo pravilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kramerjevo pravilo se uporablja v linearni algebri za reševanje sistema linearnih enačb, ki vsebuje toliko enačb kot je v sistemu neznank. Pravilo je uporabno samo, če obstoja ena rešitev.

Imenuje se po švicarskem matematiku Gabrielu Cramerju (1704 – 1752), ki ga je objavil leta 1750.

Uporabljamo ga lahko tudi za druge vrste števil (obsege) in ne samo za realna števila. Pravilo je neprimerno za uporabo pri sistemih z večjim številom neznank. Za takšne primere je boljše, če uporabimo katero izmed drugih metod reševanja sistema linearnih enačb (n. pr. Gaussova eliminacijska metoda).

Opis pravila[uredi | uredi kodo]

Predpostavimo, da imamo sistem n linearnih enačb

\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ 
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\
\end{cases}

To lahko zapišemo v matrični obliki kot


\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}

ali

 Ax = B \,.

V tem primeru dobimo rešitve kot

 x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, \ldots, n \, .

kjer je

  •  A_i \, matrika, kjer smo i-ti stolpec nadomestili stolpcem  B \,.
  •  A \, matrika sistema, ki ima za elemente koeficiente spremenljivk

Zgled[uredi | uredi kodo]

Imamo naslednji sistem linearnih enačb

\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\
\end{cases}

ali

 Ax = B \,.

Determinante, ki jih potrebujemo za izračun rešitev sistema linearnih enačb, so:

\Delta=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_2=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 \\
\end{vmatrix}

Rešitev sistema je:

x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}

kjer je

  •  \Delta \, vrednost determinante  A \,
  •  {\Delta_1}\, determinanta matrike  A \,, kjer je prvi stolpec zamenjan s stolpcem   B \,
  •  {\Delta_2}\, determinanta matrike  A \,, kjer je drugi stolpec zamenjan s stolpcem  B \,
  •  {\Delta_3}\, determinanta matrike  A \,, kjer je tretji stolpec s stolpcem   B \,

V nadaljevanju je prikazan primer reševanja sistema enačb

\begin{matrix}
82\, x_1+45\,x_2+9\,x_3=1\\
27\,x_1+16\,x_2+3\,x_3=1\\
9\,x_1+5\,x_2+1\,x_3=0\\
\end{matrix}

Razširjena matrika sistema enačb je:

\begin{pmatrix}{A} & b\end{pmatrix} = 
  \left(\begin{array}{ccc|c}
    82 & 45 & 9 &  1 \\
    27 & 16 & 3 &  1 \\
    9 & 5 & 1 &  0 
  \end{array}\right)

Po Kramerjevem pravilu dobimo rešitve sistema enačb:

x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} =

\frac{\begin{vmatrix}{1}
&45
&9
\\ 1
&16
&3
\\ 0
&5
&1
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}{82}
&45
&9
\\ 27
&16
&3
\\ 9
&5
&1
\end{vmatrix}}
= \frac{1}{1} = 1\qquad
x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} =

\frac{\begin{vmatrix}{82}
&1
&9
\\ 27
&1
&3
\\ 9
&0
&1
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}{82}
&45
&9
\\ 27
&16
&3
\\ 9
&5
&1
\end{vmatrix}}
= \frac{1}{1} = 1\qquad
x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} =

\frac{\begin{vmatrix}{82}
&45
&1
\\ 27
&16
&1
\\ 9
&5
&0
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}{82}
&45
&9
\\ 27
&16
&3
\\ 9
&5
&1
\end{vmatrix}}
= \frac{-14}{1} = -14.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]