Cramerjevo pravilo

Kramerjevo pravilo se uporablja v linearni algebri za reševanje sistema linearnih enačb, ki vsebuje toliko enačb kot je v sistemu neznank. Pravilo je uporabno samo, če obstoja ena rešitev.

Imenuje se po švicarskem matematiku Gabrielu Cramerju (1704 – 1752), ki ga je objavil leta 1750.

Uporabljamo ga lahko tudi za druge vrste števil (obsege) in ne samo za realna števila. Pravilo je neprimerno za uporabo pri sistemih z večjim številom neznank. Za takšne primere je boljše, če uporabimo katero izmed drugih metod reševanja sistema linearnih enačb (n. pr. Gaussova eliminacijska metoda).

Opis pravila

Predpostavimo, da imamo sistem n linearnih enačb

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\ \end{cases}$

To lahko zapišemo v matrični obliki kot

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

ali

$Ax = B \,$.

V tem primeru dobimo rešitve kot

$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, \ldots, n \,$ .

kjer je

• $A_i \,$ matrika, kjer smo i-ti stolpec nadomestili stolpcem $B \,$.
• $A \,$ matrika sistema, ki ima za elemente koeficiente spremenljivk

Zgled

Imamo naslednji sistem linearnih enačb

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\ \end{cases}$

ali

$Ax = B \,$.

Determinante, ki jih potrebujemo za izračun rešitev sistema linearnih enačb, so:

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \Delta_2=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{vmatrix}$

Rešitev sistema je:

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}$

kjer je

• $\Delta \,$ vrednost determinante $A \,$
• ${\Delta_1}\,$ determinanta matrike $A \,$, kjer je prvi stolpec zamenjan s stolpcem $B \,$
• ${\Delta_2}\,$ determinanta matrike $A \,$, kjer je drugi stolpec zamenjan s stolpcem $B \,$
• ${\Delta_3}\,$ determinanta matrike $A \,$, kjer je tretji stolpec s stolpcem $B \,$

V nadaljevanju je prikazan primer reševanja sistema enačb

$\begin{matrix} 82\, x_1+45\,x_2+9\,x_3=1\\ 27\,x_1+16\,x_2+3\,x_3=1\\ \,x_1+5\,x_2+1\,x_3=0\\ \end{matrix}$

Razširjena matrika sistema enačb je:

$\begin{pmatrix}{A} & b\end{pmatrix} = \left(\begin{array}{ccc|c} 82 & 45 & 9 & 1 \\ 27 & 16 & 3 & 1 \\ 9 & 5 & 1 & 0 \end{array}\right)$

Po Kramerjevem pravilu dobimo rešitve sistema enačb:

$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}{1} &45 &9 \\ 1 &16 &3 \\ 0 &5 &1 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}{82} &45 &9 \\ 27 &16 &3 \\ 9 &5 &1 \end{vmatrix}} = \frac{1}{1} = 1\qquad$

$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}{82} &1 &9 \\ 27 &1 &3 \\ 9 &0 &1 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}{82} &45 &9 \\ 27 &16 &3 \\ 9 &5 &1 \end{vmatrix}} = \frac{1}{1} = 1\qquad$

$x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}{82} &45 &1 \\ 27 &16 &1 \\ 9 &5 &0 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}{82} &45 &9 \\ 27 &16 &3 \\ 9 &5 &1 \end{vmatrix}} = \frac{-14}{1} = -14$.

Zunanje povezave

• Determinante in Kramerjevo pravilo (v slovenščini)
• kramerjevo pravilo na MathWorld (v angleščini)
• Kramerjevo pravilo (v angleščini)
• Geometrijska razlaga Kramerjevega pravila s simulacijo (v angleščini)