Konjugirano transponirana matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Konjugirano transponirana matrika (oznaka  A^* \,) (tudi hermitska transponirana in hermitska konjugirana) matrike  A \, z razsežnostjo  m \times n \, in elementi, ki so kompleksni, je matrika  A^* \,, ki jo dobimo iz transponirane v kateri vse elemente spremenimo v konjugirano kompleksne. Za posamezne elemente lahko to zapišemo kot

(A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}

kjer je

  •  A^* \, konjugirano transponirana matrika matrike  A \,
  •  \overline{A_{ji}} \, so konjugirane vrednosti elementa  A_{ij} \,
  •  i \,,  j \, sta zaporedni številki vrstice oziroma stolpca (pozor: indeksa sta zamenjana)
  •  i \, lahko zavzame vrednosti  1 \le i \le n \,
  •  j \, lahko zavzame vrednosti  1 \le j \le m \,

To lahko zapišemo tudi kot

A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}

kjer je

Konjugirano transponirane matrike označujejo še na nekaj načinov, Običajno je način označevanja odvisen tudi od področja uporabe

Primer[uredi | uredi kodo]

Če imamo matriko

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix},

potem je njena konjugirano transponirana matrika enaka

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}..

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • Konjugirano transponirana matrika vsote dveh matrik z isto razsežnostjo je enaka vsoti konjugirano transponiranih matrik  (A + B)^* = A^* + B^* \,
  • Za poljubno kompleksno število  r \, velja  (rA)^* = r^*. A^* \,, kjer je  r^* \, konjugirano kompleksno število števila  r \,
  • Konjugirano transponirana matrika zmnožka dveh matrik  A \, (z razsežnostjo  m \times n \,) in  B \, (z razsežnostjo  n \times p \,) je zmnožek konjugirano transponiranih matrik  (AB) ^* \,<math> = B^*.A^* \, (pozor: vrstni red je obrnjen)
  • Za poljubno matriko  A \, velja tudi  (A^*)^* = A \,
  • Če je  A \, kvadratna matrika, potem je determinanta  \det (A^*) = ( \det A)^* \,
  • Če je  A \, kvadratna matrika, potem je sled matrike enaka  sl (A^*) = (sl A)^*\, .
  • Če in samo, če je matrika  A^* \, obrnljiva matrika, potem velja  (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* \,
  • Lastne vrednosti matrike  A^* \, so konjugirano kompleksne lastne vrednosti matrike  A \,
  • Če so elementi matrike  A \, realni, potem je matrika  A^* \, enaka transponirani  A^T \,
  • Če za kvadratno matriko  A \, velja  A^* = A \,, potem je matrika sebi adjungirana ali hermitska
  • matrika je poševnohermitska matrika ali antihermitska, če je  A^* = - A \,
  • matrika je normalna, če velja  A^*A =A A^* \,.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]