Konjugirano transponirana matrika

Konjugirano transponirana matrika (oznaka $A^* \,$ ) (tudi hermitska transponirana in hermitska konjugirana) matrike $A \,$ z razsežnostjo $m \times n \,$ in elementi, ki so kompleksni, je matrika $A^* \,$ , ki jo dobimo iz transponirane v kateri vse elemente spremenimo v konjugirano kompleksne. Za posamezne elemente lahko to zapišemo kot

$(A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}$

kjer je

$A^* \,$ konjugirano transponirana matrika matrike $A \,$

$\overline{A_{ji}} \,$ so konjugirane vrednosti elementa $A_{ij} \,$
$i \,$ , $j \,$ sta zaporedni številki vrstice oziroma stolpca (pozor: indeksa sta zamenjana)
$i \,$ lahko zavzame vrednosti $1 \le i \le n \,$
$j \,$ lahko zavzame vrednosti $1 \le j \le m \,$

To lahko zapišemo tudi kot

$A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}$

kjer je

$A^T \,$ transponiranje matrike $A \,$
$\overline A \,$ pomeni konjugirano kompleksno vrednost za vse elemente matrike

Konjugirano transponirane matrike označujejo še na nekaj načinov, Običajno je način označevanja odvisen tudi od področja uporabe

$A^H \,$ se uporablja v linearni algebri
$A^{\dagger} \,$ se uporablja v kvantni mehaniki
$A^{+} \,$ se uporablja za konjugirano transponirano matriko in za Moore-Penrosov psevdoinverz

Primer [uredi]

Če imamo matriko

$A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}$ ,

potem je njena konjugirano transponirana matrika enaka

$A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.$ .

Lastnosti [uredi]

Konjugirano transponirana matrika vsote dveh matrik z isto razsežnostjo je enaka vsoti konjugirano transponiranih matrik $(A + B)^* = A^* + B^* \,$
Za poljubno kompleksno število $r \,$ velja $(rA)^* = r^*. A^* \,$ , kjer je $r^* \,$ konjugirano kompleksno število števila $r \,$
Konjugirano transponirana matrika zmnožka dveh matrik $A \,$ (z razsežnostjo $m \times n \,$ ) in $B \,$ (z razsežnostjo $n \times p \,$ ) je zmnožek konjugirano transponiranih matrik $(AB) ^* \,<math> = B^*.A^* \,$ (pozor: vrstni red je obrnjen)
Za poljubno matriko $A \,$ velja tudi $(A^*)^* = A \,$
Če je $A \,$ kvadratna matrika, potem je determinanta $\det (A^*) = ( \det A)^* \,$
Če je $A \,$ kvadratna matrika, potem je sled matrike enaka $sl (A^*) = (sl A)^*\,$ .
Če in samo, če je matrika $A^* \,$ obrnljiva matrika, potem velja $(A^*)^{-1} = (A^{-1})^* \,$
Lastne vrednosti matrike $A^* \,$ so konjugirano kompleksne lastne vrednosti matrike $A \,$
Če so elementi matrike $A \,$ realni, potem je matrika $A^* \,$ enaka transponirani $A^T \,$
Če za kvadratno matriko $A \,$ velja $A^* = A \,$ , potem je matrika sebi adjungirana ali hermitska
matrika je poševnohermitska matrika ali antihermitska, če je $A^* = - A \,$
matrika je normalna, če velja $A^*A =A A^* \,$ .