Poševnosimetrična matrika

Poševnosimetrična matrika (tudi antisimetrična matrika) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

$A^T=-A \!\, ,$

kjer je:

• $A^ T \,$ transponirana matrika matrike $A \,$.

To lahko zapišemo tudi kot:

$a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\} \!\, ,$

kjer je:

• $a_{ij} \,$ element matrike $A \,$

Zgledi

$\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}\qquad ;\qquad\begin{pmatrix} 0 &1& -2 \\ -1 & 0 &3 \\ 2&-3&0\end{pmatrix} \!\, .$

Značilnosti

• rang poševnosimetrične matrike je vedno sodo število.

Determinanta poševnosimetrične matrike

Če ima matrika $A \,$ razsežnost $n \times n \,$ sta pri izračunu determinante dve možnosti:

• $n \,$ je neparno število

$det (A) = det (A^T) = det (-A) = (-1) ^n det (A)\,$

kar pomeni, da je $det(A) = 0 \,$. Ta rezultat se imenuje Jakobijevo pravilo (po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jakobu Jacobiju (1804 – 1851)).

• $n \,$ je sodo število. V tem primeru lahko determinanto matrike $A \,$ pišemo kot kvadrat polinoma elementov matrike $A \,$

to je

$det (A) = {Pf(A)} ^ 2 \,$

kjer je

• $Pf(A) \,$ Pfaffova determinanta (pfafian) (ime ima po nemškem matematiku Johanu Friedrichu Pfaffu (1765 – 1825)) matrike $A \,$, ki se izračuna kot $\mbox{Pf(A)}=\pm\sqrt{\mbox{det(A)}}$. Iz tega sledi, da je determinanta nenegativna.

Glej tudi

• simetrična matrika
• seznam vrst matrik