Steinerjev izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Masni vztrajnostni moment valja okrog tvorilke ζ
Steinerjev izrek za vztrajnostni moment ploskve

Steinerjev izrek (tudi Huygens-Steinerjev izrek ali redkeje izrek o vzporedni osi) v fiziki podaja masni vztrajnostni moment Jζ togega telesa okrog dane osi vrtenja ζ:

 J_{\zeta} = J^{\star} + m r^{\star 2} \!\, ,

kjer je J* vztrajnostni moment okrog vzporedne osi skozi težišče telesa, m masa telesa in r* pravokotna razdalja med osema.

S Steinerjevim izrekom se včasih ognemo integriranju. Zgled je vztrajnosti moment valja okrog tvorilke ζ:

 J_{\zeta} = J_{z} + m r^{\star 2} = \frac{1}{2} mr^{2} + mr^{2} = \frac{3}{2} mr^{2} \!\, .

Steinerjev izrek velja tudi za vztrajnostna momenta ploskve:

 I_{u} = I_{x}^{\star} + S a^{\star 2} \!\, ,
 I_{v} = I_{y}^{\star} + S b^{\star 2} \!\, .

Izrek se imenuje po švicarskem matematiku Jakobu Steinerju. Izreku rečejo včasih tudi Steinerjevo pravilo ali kar Steinerjeva enačba.

Izpeljava[uredi | uredi kodo]

Brez izgube splošnosti lahko privzamemo, da v kartezičnem koordinatnem sistemu pravokotna razdalja med osema leži vzdolž osi x in, da težišče leži v koordinatnem izhodišču. Masni vztrajnostni moment glede na os z, ki gre skozi težišče, je:

 J_{z} = \int{(x^2 + y^2)} \, {\rm d} m \!\, .

Masni vztrajnostni moment glede na novo os na pravokotni razdalji r* vzdolž osi x iz težišča je:

 J_{\zeta} = \int{((x - r^{\star})^{2} + y^{2})} \, {\rm d} m \!\, .

Če izraz razširimo, dobimo:

 J_{\zeta} = \int{(x^{2} + y^{2})} \, {\rm d} m + r^{\star 2} \int {\rm d} m - 2r^{\star}\int{x} \, {\rm d}m \!\, .

Prvi člen je Jz, drugi mr*2, zadnji pa je enak 0, ker je izhodišče v težišču. Tako je končno:

 J_{\zeta} = J_{z} + m r^{\star 2} \!\, ,