Ortogonalni polinomi

Ortogonalni polinomi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke

$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \ldots$.

Pri tem pa ima vsak $p_n \,$ stopnjo $n \,$. Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji verziji L² notranjega produkta.

Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v 19. stoletju. Med znanstveniki, ki so jih proučevali so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov (1821 – 1894) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov (starejši) (1856 – 1922) ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes (1856 – 1894). V 20. stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko-britanski matematik Arthur Erdélyi (1908 – 1977) madžarski matematik Gábor Szegő (1895 – 1985) ter ameriški matematik Richard Allen Askey (rojen 1933).

Definicija

Najugodneje je, da za definicijo ortogonalnih polinomov uporabimo oznako za notranji produkt za katerega velja, da je za dva ortogonalna polinoma enak nič

$\langle p,q\rangle=0$

kjer sta

• $p(x), q(x) \,$ ortogonalna polinoma.

Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje

$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \ldots$.

Pri tem pa imajo $p_n \,$ stopnjo n in vsi različni člani zaporedja so ortogonalni drug na drugega. Lastnosti polinomov so odvisni od lastnosti operatorja $\langle \cdot,\cdot\rangle$.

Diferencialne enačbe, ki vodijo do ortogonalnih polinomov

Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko

$Q(x) \, f'' + L(x)\,f' + \lambda f = 0 \,$

kjer je

• $Q(x) \,$ največ kvadratni polinom
• $L(x) \,$ linearni polinom
• $f \,$ funkcija, ki jo je potrebno najti
• $\lambda \,$ konstanta, ki jo je potrebno najti.

Enačba pripada Sturm-Liouvilleovemu tipu enačb. Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za $f \,$, nimajo jih pa za določene vrednosti konstante $\lambda \,$. Obstoja vrsta števil $\lambda_0, \lambda_1 \lambda_2 \cdots \,$, ki vodijo do vrste rešitev s polinomi $P_0, P_1 P_2 \cdots \,$, če velja ena izmed naslednjih trditev

1. $Q \,$ je resnični kvadratni polinom, $L \,$ pa linearni, potem ima $Q \,$ dva različna realna korena
2. $Q \,$ ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma $L \,$ leži natančno med korenoma polinoma $Q \,$ in vodeči člen polinomov $L \,$ in $Q \,$ ima isti predznak.
3. $Q \,$ je neničelna konstanta, $L \,$ je linearni polinom in vodeči člen polinoma $L \,$ ima nasprotni nasprotni znak kot polinom $Q \,$.

Klasična definicija

Naj bo $[x_1, x_2]$ interval na realni premici tako, da velja $x_1 = -\infty$ and $x_2 = \infty$, kar imenujemo interval ortogonalnosti. Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala

$w : [x_1, x_2] \to \mathbb{R}$

w mora zadoščati zahtevi, da za polinom $f \,$ mora biti integral

$\int_{x_1}^{x_2} f(x) w(x) \; dx$

končen. Funkcijo w imenujemo utežno funkcijo.

Za dani vrednosti $x_1, x_2 \,$ in w lahko za dana polinoma $f \,$ in $g \,$ definiramo

$\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) w(x) \; dx.$.

Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom. S tem pa je določena ortogonalnost dveh polinomov. Torej sta dva polinoma ortogonalna, če je njun notranji (skalarni) produkt enak nič.

Standardizacija

Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način

$\| f \| = \langle f, f \rangle^{1 / 2} \,$.

Ko pripravljamo ortogonalno bazo, poskušamo pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako 1. Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov. Namesto tega polinome skaliramo tako, da so koeficienti enostavnejši. To imenujemo standardizacija. Klasične polinome pogosto standardiziramo s tem, da postavimo vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa postavimo določeno vrednost. Standardizacija na ta način je samo dogovor, nima pa matematičnega pomena. Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije.

Kvadrat norme polinoma $p_n \,$ označimo s $h_n \,$

$h_n = \langle p_n, p_n \rangle \,$.

Vrednosti za $h_n \,$ so za klasične polinome standardizirane (glej tabelo spodaj). To lahko zapišemo tudi kot

$\langle p_m, p_n \rangle = \delta_{mn} \sqrt{h_m h_n},$

kjer je

• $\delta_{mn}\,$ Kroneckerjev delta

Rekurzivni odnos

Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki:

$p_{n+1} = (a_nx+b_n) p_n - c_n p_{n-1}. \,$

Koeficienti $a \,$, $b \,$ in $c \,$ so odvisni od $n \,$.

Vrednosti $a_n \,$, $b_n \,$ in $c_n \,$ lahko neposredno določimo. Naj bodo $k_j$ in $k_j'$ prvi in drugi koeficient polinoma $p_j$:

$p_j(x)=k_jx^j+k_j'x^{j-1}+\cdots \,$

in naj bo $h_j \,$ notranji produkt polinoma $p_j$ samega s seboj

$h_j\ =\ \langle p_j,\ p_j \rangle.$

Iz tega se dobi

$a_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\qquad b_n=a_n \left(\frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} - \frac{k_n'}{k_n} \right), \qquad c_n=a_n \left(\frac{k_{n-1}h_n}{k_n h_{n-1}} \right).$

Rodriquesov obrazec

Posamezni členi $P_n(x) \,$ so sorazmerni z $\frac{1}{w(x)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(w(x)[Q(x)]^n\right).$ Ta obrazec imenujemo Rodriguesov obrazec. Imenuje se po francoskem bankirju, matematiku in socialnem reformatorju Benjaminu Olindeju Rodriguesu (1795 – 185).

Pogosto ga pišemo v obliki

$P_n(x) = \frac{1}{{e_n}W(x)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)$

kjer je

• $e_n \,$ odvisen od standardizacije.

Števila λ_n

Iz vsega sledi, da je

$\lambda_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right).$

Ker pa sta Q kvadratni in L linearna polinoma sta $Q''$ in $L'$ konstanti (glej preglednico spodaj).

Klasični ortogonalni polinomi

Med klasične ortogonalne polinome prištevamo:

• polinome Jacobija
  • polinome Gegenbauerja
  • polinome Legendra
  • polinome Čebišova (dva tipa)
• polinome Laquerra
  • Posplošene polinome Laquerra
• polinome Hermita

Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe, ki ima obliko

$Q(x) \, f'' + L(x)\,f' + \lambda f = 0 \,$.

Polinomi Jacobija

Polinomi Jacobija so rešitve enačbe Jacobija

$(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{kjer je}\qquad\lambda = n(n+1+\alpha+\beta)\,$

Polinomi, ki so jim podobni, imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako, da interval še vedno obsega $[-1, 1] \,$ in je potrebno določiti dva parametra (glej tudi Gegenbauerjevi polinomi).

Polinomi Legendra

Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe

$(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{with}\qquad\lambda = n(n+1).\,$.

To enačbo imenujemo Legendrova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je

$([1-x^2]\,y')' + \lambda\,y = 0.\,$.

Rekurzivni obrazec za polinome Legendra je

$(n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)x\,P_n(x)-n\,P_{n-1}(x)\,$.

Najenostavnejši ortogonalni polinomi so polinomi Legendra. Njihov interval ortogonalnosti je [-1, 1], utežna funkcija pa je kar 1.

Nekaj prvih polinomov Legendra je

$P_0(x) = 1,\,$

$P_1(x) = x,\,$

$P_2(x) = \frac{3x^2-1}{2},\,$

$P_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2},\,$

$P_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8},\,$

$\vdots$.

Polinomi so ortogonalni v intervalu [-1, 1], če je le $m \ne n \,$, saj velja

$\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \, dx = 0.$.

Polinomi Legendra so standardizirani tako, da je $P_n(1) = 1 \,$ za vse $n \,$.

Posplošeni Legendrovi polinomi

Posplošene Legendrove polinome označimo z

$P_\ell^{(m)}(x)$

kjer je

• $l \,$ celo število
• $m \,$ celo število tako, da je $0 \le m \le l \,$.

Polinomi so definirani kot

$P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m\,(1-x^2)^{m/2}\ P_\ell^{[m]}(x).\,$.

Opomba:parameter $m \,$ je zapisan v oklepaju, da ne izgleda kot potenca.

Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je

$(\ell+1-m)\,P_{\ell+1}^{(m)}(x) = (2\ell+1)x\,P_\ell^{(m)}(x) - (\ell+m)\,P_{\ell-1}^{(m)}(x) \,$.

Za stalni $m \,$ je zaporedje $P_m^{(m)}, P_{m+1}^{(m)}, P_{m+2}^{(m)}, \dots$ ortogonalno v intervalu $[-1, 1] \,$ z utežno funkcijo enako 1.

Za dani $m \,$ so polinomi rešitev diferencialne enačbe

$(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left[\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right]\,y = 0\qquad \mathrm{z}\qquad\lambda = \ell(\ell+1) \,$.

Polinomi Gegenbauerja

Kadar je ena skupina parametrov $\alpha \,$ in $\beta \,$ med seboj enaka, dobimo polinome Gegenbauerja. Zapišemo jih kot $C_n^{(\alpha)}$. Definirani pa so kot

$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \ P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$.

Pri tem je $Q(x) = 1-x^2\,$ and $L(x) = -(2\alpha+1)\, x$ Mora pa biti $\alpha\,$ večji od -1/2.

Polinomi Čebišova

Diferencialna enačba, katere rešitve so Čebišovi polinomi, je

$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{with}\qquad\lambda = n^2 \,$.

Imenujemo jo enačba Čebišova.

Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je

$T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x) \,$.

Rodriquesov obrazec je

$T_n(x) = \frac{\Gamma(1/2)\sqrt{1-x^2}}{(-2)^n\,\Gamma(n+1/2)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left([1-x^2]^{n-1/2}\right).$

Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste, ki pa jih označujemo z $U_n \,$.

Polinomi Laquerra

Najsplošnejši polinomi Laquerra se imenujejo posplošeni polinomi Laquerra in jih označujemo z $L_n^{(\alpha)}$. Parameter $\alpha$ mora biti večji od -1.

Diferencialna enačba s katero so določeni polinomi Laquerra je

$x\,y'' + (\alpha + 1-x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\text{ with }\lambda = n.\,$

Druga oblika diferencialne enačbe pa je

$(x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, y')' + {\lambda}\,x^\alpha \,e^{-x}\,y = 0.\,$

Rekurzivni obrazec je

$(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha)}(x) = (2n+1+\alpha-x)\,L_n^{(\alpha)}(x) - (n+\alpha)\,L_{n-1}^{(\alpha)}(x).\,$

Rodriquesov obrazec je

$L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{x^{-\alpha}e^x}{n!} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(x^{n+\alpha}\,e^{-x}\right).$

Polinomi Hermita

Diferencialna enačba, ki določa polinome Hermita, je

$y'' - 2xy' + {\lambda}\,y = 0,\qquad \mathrm{z}\qquad\lambda = 2n.\,$

Imenujemo jo Hermitova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je

$(e^{-x^2}\,y')' + e^{-x^2}\,\lambda\,y = 0.\,$

Znana je še tretja oblika

$(e^{-x^2/2}\,y)'' + ({\lambda}+1-x^2)(e^{-x^2/2}\,y) = 0.\,$

rekurzivni obrazec je

$H_{n+1}(x) = 2x\,H_n(x) - 2n\,H_{n-1}(x).\,$

Rodriquesov obrazec je

$H_n(x) = (-1)^n\,e^{x^2} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right).$

Nekaj prvih polinomov Hermita je

$H_0(x) = 1\,$

$H_1(x) = 2x\,$

$H_2(x) = 4x^2-2\,$

$H_3(x) = 8x^3-12x\,$

$H_4(x) = 16x^4-48x^2+12 \,$.

Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov

Ime in oznaka	Polinomi Čebišova, $\ T_n$	Polinomi Čebišova (druge vrste), $\ U_n$	Polinomi Legendra, $\ P_n$	Polinomi Hermita, $\ H_n$
Meje ortogonalnosti	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$	$-\infty, \infty$
utežna funkcija $w(x)\,$	$(1-x^2)^{-1/2}\,$	$(1-x^2)^{1/2}\,$	$1\,$	$e^{-x^2}$
Standardizacija	$T_n(1)=1\,$	$U_n(1)=n+1\,$	$P_n(1)=1\,$	Vodeči člen = $2^n\,$
Kvadrat norme $h_n\,$	$\left\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right.$	$\pi/2\,$	$\frac{2}{2n+1}$	$2^n\,n!\,\sqrt{\pi}$
Vodeči člen $k_n\,$	$2^{n-1}\,$	$2^n\,$	$\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}\,$	$2^n\,$
Drugi člen $k'_n\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
$Q\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$	$1\,$
$L\,$	$-x\,$	$-3x\,$	$-2x\,$	$-2x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$(1-x^2)^{1/2}\,$	$(1-x^2)^{3/2}\,$	$1-x^2\,$	$e^{-x^2}\,$
Konstanta v diferencialni enačbi ${\lambda}_n\,$	$n^2\,$	$n(n+2)\,$	$n(n+1)\,$	$2n\,$
Konstanta v obrazcu Rodriguesa $e_n\,$	$(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}\,$	$2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}\,$	$(-2)^n\,n!\,$	$(-1)^n\,$
Rekurzivni odnos $a_n\,$	$2\,$	$2\,$	$\frac{2n+1}{n+1}\,$	$2\,$
Rekurzivni odnos $b_n\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
Rekurzivni odnos $c_n\,$	$1\,$	$1\,$	$\frac{n}{n+1}\,$	$2n\,$

Ime in oznaka	Posplošeni Laquerrovi polinomi, $L_n^{(\alpha)}$	Polinomi Laguerra, $\ L_n$
Meje ortogonalnosti	$0, \infty\,$	$0, \infty\,$
Utežna funkcija $w(x)\,$	$x^{\alpha}e^{-x}\,$	$e^{-x}\,$
Standardizacija	Vodeči člen = $\frac{(-1)^n}{n!}\,$	Vodeči člen = $\frac{(-1)^n}{n!}\,$
Kvadrat norme $h_n\,$	$\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\,$	$1\,$
Vodeči člen $k_n\,$	$\frac{(-1)^n}{n!}\,$	$\frac{(-1)^n}{n!}\,$
Drugi člen $k'_n\,$	$\frac{(-1)^{n+1}(n+\alpha)}{(n-1)!}\,$	$\frac{(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}\,$
$Q\,$	$x\,$	$x\,$
$L\,$	$\alpha+1-x\,$	$1-x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$x^{\alpha+1}\,e^{-x}\,$	$x\,e^{-x}\,$
Konstanta v diferencialni enačbi ${\lambda}_n\,$	$n\,$	$n\,$
Konstanta v obrazcu Rodriguesa $e_n\,$	$n!\,$	$n!\,$
Rekurzivni odnos $a_n\,$	$\frac{-1}{n+1}\,$	$\frac{-1}{n+1}\,$
Rekurzivni odnos $b_n\,$	$\frac{2n+1+\alpha}{n+1}\,$	$\frac{2n+1}{n+1}\,$
Rekurzivni odnos $c_n\,$	$\frac{n+\alpha}{n+1}\,$	$\frac{n}{n+1}\,$

Ime in oznaka	Polinomi Gegenbauerja, $C_n^{(\alpha)}$	Polinomi Jacobija, $P_n^{(\alpha, \beta)}$
Meje ortogonalnosti	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$
Utežna funkcija $w(x)\,$	$(1-x^2)^{\alpha-1/2}\,$	$(1-x)^\alpha(1+x)^\beta\,$
Standardizacija	$C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\,$ if $\alpha\ne0$	$P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}\,$
Kvadrat norme $h_n\,$	$\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}$	$\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}$
Vodeči člen $k_n\,$	$\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(1/2+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+1/2+\alpha)}\,$	$\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,$
Drugi člen $k'_n\,$	$0\,$	$\frac{(\alpha-\beta)\,\Gamma(2n+\alpha+\beta)}{(n-1)!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,$
$Q\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$
$L\,$	$-(2\alpha+1)\,x\,$	$\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)\,x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$(1-x^2)^{\alpha+1/2}\,$	$(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,$
Konstanta v diferencialni enačbi ${\lambda}_n\,$	$n(n+2\alpha)\,$	$n(n+1+\alpha+\beta)\,$
Konstanta v Rodriguesovem obrazcu $e_n\,$	$\frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n\!+\!1/2\!+\!\alpha)} {\Gamma(n\!+\!2\alpha)\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}$	$(-2)^n\,n!\,$
Rekurzivni odnos $a_n\,$	$\frac{2(n+\alpha)}{n+1}\,$	$\frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)}$
Rekurzivni odnos $b_n\,$	$0\,$	$\frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)}$
Rekurzivni odnos $c_n\,$	$\frac{n+2{\alpha}-1}{n+1}\,$	$\frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}$

Zunanje povezave

• Ortogonalni polinomi na MathWorld (v angleščini)
• Ortogonalni polinomi (v angleščini)
• Polinomi Laquerra na MathWorld (v angleščini)