Ortogonalni polinomi

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ortogonalni polinomi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke

p_0,\ p_1,\ p_2,\ \ldots. Pri tem pa ima vsak  p_n \, stopnjo  n \,. Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji verziji L2 notranjega produkta.

Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v 19. stoletju. Med znanstveniki, ki so jih proučevali, so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov (1821 – 1894) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov starejši (1856 – 1922) ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes (1856 – 1894). V 20. stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko-britanski matematik Arthur Erdélyi (1908 – 1977), madžarski matematik Gábor Szegő (1895 – 1985), ter ameriški matematik Richard Allen Askey (rojen 1933).

Definicija[uredi | uredi kodo]

Najugodneje je, da za definicijo ortogonalnih polinomov uporabimo oznako za notranji produkt za katerega velja, da je za dva ortogonalna polinoma enak nič:

 \langle p,q\rangle=0 \!\, ,

kjer sta:

  •  p(x), q(x) \, ortogonalna polinoma.

Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje:

 p_0,\ p_1,\ p_2,\ \ldots \!\, .

Pri tem imajo p_n \, stopnjo n in vsi različni členi zaporedja so ortogonalni drug na drugega. Značilnosti polinomov so odvisne od značilnosti operatorja \langle \cdot,\cdot\rangle.

Diferencialne enačbe, ki vodijo do ortogonalnih polinomov[uredi | uredi kodo]

Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko:

 Q(x) \, f'' +  L(x)\,f' + \lambda  f = 0 \!\, ,

kjer je:

  •  Q(x) \, največ kvadratni polinom
  •  L(x) \, linearni polinom
  •  f \, funkcija, ki jo je potrebno najti
  •  \lambda \, konstanta, ki jo je potrebno najti.

Enačba pripada Sturm-Liouvilleovemu tipu enačb. Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za  f \,, nimajo jih pa za določene vrednosti konstante  \lambda \,. Obstoja vrsta števil  \lambda_0, \lambda_1 \lambda_2 \cdots \,, ki vodijo do vrste rešitev s polinomi  P_0, P_1 P_2 \cdots \,, če velja ena izmed naslednjih trditev

  1.  Q \, je resnični kvadratni polinom,  L \, pa linearni, potem ima  Q \, dva različna realna korena
  2.  Q \, ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma  L \, leži natančno med korenoma polinoma  Q \, in vodeči člen polinomov  L \, in  Q \, ima isti predznak.
  3.  Q \, je neničelna konstanta,  L \, je linearni polinom in vodeči člen polinoma  L \, ima nasprotni nasprotni znak kot polinom  Q \,.

Klasična definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo [x_1, x_2] interval na realni premici tako, da velja x_1 = -\infty and x_2 = \infty, kar imenujemo interval ortogonalnosti. Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala

w : [x_1, x_2] \to \mathbb{R}

w mora zadoščati zahtevi, da za polinom  f \, mora biti integral

\int_{x_1}^{x_2} f(x) w(x) \; dx

končen. Funkcijo w imenujemo utežno funkcijo.

Za dani vrednosti  x_1, x_2 \, in w lahko za dana polinoma  f \, in  g \, definiramo

\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) w(x) \; dx..

Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom. S tem pa je določena ortogonalnost dveh polinomov. Torej sta dva polinoma ortogonalna, če je njun notranji (skalarni) produkt enak nič.

Standardizacija[uredi | uredi kodo]

Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način:

\| f \| = \langle f, f \rangle^{1 / 2} \,.

Ko pripravljamo ortogonalno bazo, poskušamo pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako 1. Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov. Namesto tega polinome skaliramo tako, da so koeficienti enostavnejši. To imenujemo standardizacija. Klasične polinome pogosto standardiziramo s tem, da postavimo vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa postavimo določeno vrednost. Standardizacija na ta način je samo dogovor, nima pa matematičnega pomena. Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije.

Kvadrat norme polinoma  p_n \, označimo s  h_n \,

h_n = \langle p_n, p_n \rangle \,.

Vrednosti za  h_n \, so za klasične polinome standardizirane (glej tabelo spodaj). To lahko zapišemo tudi kot

\langle p_m, p_n \rangle = \delta_{mn} \sqrt{h_m h_n},

kjer je

Rekurzivni odnos[uredi | uredi kodo]

Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki:

p_{n+1} = (a_nx+b_n) p_n - c_n p_{n-1}. \,

Koeficienti  a \,,  b \, in  c \, so odvisni od  n \,.

Vrednosti  a_n \,,  b_n \, in  c_n \, lahko neposredno določimo. Naj bodo k_j in k_j' prvi in drugi koeficient polinoma p_j:

p_j(x)=k_jx^j+k_j'x^{j-1}+\cdots \,

in naj bo  h_j \, notranji produkt polinoma p_j samega s seboj

h_j\ =\ \langle p_j,\ p_j \rangle.

Iz tega se dobi

a_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\qquad b_n=a_n \left(\frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} -
\frac{k_n'}{k_n} \right), \qquad c_n=a_n \left(\frac{k_{n-1}h_n}{k_n h_{n-1}} \right).

Rodriquesov obrazec[uredi | uredi kodo]

Posamezni členi  P_n(x) \, so sorazmerni z \frac{1}{w(x)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(w(x)[Q(x)]^n\right). Ta obrazec imenujemo Rodriguesov obrazec. Imenuje se po francoskem bankirju, matematiku in družbenem prenovitelju Benjaminu Olindeju Rodriguesu (1795 – 185).

Pogosto ga pišemo v obliki:

 P_n(x) = \frac{1}{{e_n}W(x)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right) \!\, ,

kjer je:

  •  e_n \, odvisen od standardizacije.

Števila λn[uredi | uredi kodo]

Iz vsega sledi, da je

\lambda_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right).

Ker pa sta Q kvadratni in L linearna polinoma sta Q'' in L' konstanti (glej preglednico spodaj).

Klasični ortogonalni polinomi[uredi | uredi kodo]

Med klasične ortogonalne polinome spadajo:

Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe, ki ima obliko:

 Q(x) \, f'' +  L(x)\,f' + \lambda  f = 0 \,.

Jacobijevi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Jacobijevi polinomi.

Jacobijevi polinomi so rešitve Jacobijeve enačbe:

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{kjer je}\qquad\lambda = n(n+1+\alpha+\beta)\,

Polinomi, ki so jim podobni, imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako, da interval še vedno obsega  [-1, 1] \, in je potrebno določiti dva parametra (glej tudi Gegenbauerjevi polinomi).

Legendrovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Legendrovi polinomi.

Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe:

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{with}\qquad\lambda = n(n+1).\,.

Enačba se imenuje Legendrova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

([1-x^2]\,y')' + \lambda\,y = 0.\,.

Rekurzivni obrazec za polinome Legendra je:

(n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)x\,P_n(x)-n\,P_{n-1}(x)\,.

Najenostavnejši ortogonalni polinomi so Legendrovi polinomi. Njihov interval ortogonalnosti je [-1, 1], utežna funkcija pa je kar 1.

Nekaj prvih Legendrovih polinomov je:

P_0(x) = 1,\,
P_1(x) = x,\,
P_2(x) = \frac{3x^2-1}{2},\,
P_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2},\,
P_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8},\,
\vdots.

Polinomi so ortogonalni v intervalu [-1, 1], če je le  m \ne n \,, saj velja

\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \, dx = 0..

Legendrovi polinomi so standardizirani tako, da je:  P_n(1) = 1 \, za vse  n \,.

Posplošeni Legendrovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Posplošene Legendrove polinome označimo z:

P_\ell^{(m)}(x)

kjer je

Polinomi so definirani kot:

P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m\,(1-x^2)^{m/2}\ P_\ell^{[m]}(x).\,.

Opomba:parameter  m \, je zapisan v oklepaju, da ne izgleda kot potenca.

Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je:

(\ell+1-m)\,P_{\ell+1}^{(m)}(x) = (2\ell+1)x\,P_\ell^{(m)}(x) - (\ell+m)\,P_{\ell-1}^{(m)}(x) \,.

Za stalni  m \, je zaporedje P_m^{(m)}, P_{m+1}^{(m)}, P_{m+2}^{(m)}, \dots ortogonalno v intervalu  [-1, 1] \, z utežno funkcijo enako 1.

Za dani  m \, so polinomi rešitev diferencialne enačbe:

(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left[\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right]\,y = 0\qquad \mathrm{z}\qquad\lambda = \ell(\ell+1) \,.

Gegenbauerjevi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Gegenbauerjevi polinomi.

Kadar je ena skupina parametrov  \alpha \, in  \beta \, med seboj enaka, dobimo Gegenbauerjeve polinome. Zapišemo jih kot C_n^{(\alpha)}. Definirani pa so kot:

C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}
{\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \  P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}..

Pri tem je Q(x) = 1-x^2\, in L(x) = -(2\alpha+1)\, x

Mora pa biti \alpha\, večji od -1/2.

Polinomi Čebišova[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: polinomi Čebišova.

Diferencialna enačba, katere rešitve so polinomi Čebišova, je:

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{with}\qquad\lambda = n^2 \,.

Imenuje se enačba Čebišova.

Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je:

T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x) \,.

Rodriquesov obrazec je:

T_n(x) = \frac{\Gamma(1/2)\sqrt{1-x^2}}{(-2)^n\,\Gamma(n+1/2)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left([1-x^2]^{n-1/2}\right).

Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste, ki pa jih označujemo z  U_n \,.

Laquerrovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Laquerrovi polinomi.

Najsplošnejši Laquerrovi polinomi se imenujejo posplošeni Laquerrovi polinomi in jih označujemo z L_n^{(\alpha)}. Parameter \alpha mora biti večji od -1.

Diferencialna enačba s katero so določeni Laquerrovi polinomi, je:

x\,y'' + (\alpha + 1-x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\text{ with }\lambda = n.\,

Druga oblika diferencialne enačbe pa je:

(x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, y')' + {\lambda}\,x^\alpha \,e^{-x}\,y = 0.\,

Rekurzivni obrazec je:

(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha)}(x) = (2n+1+\alpha-x)\,L_n^{(\alpha)}(x) - (n+\alpha)\,L_{n-1}^{(\alpha)}(x).\,

Rodriquesov obrazec je:

L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{x^{-\alpha}e^x}{n!} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(x^{n+\alpha}\,e^{-x}\right).

Hermitovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Hermitovi polinomi.

Diferencialna enačba, ki določa Hermitove polinome, je:

y'' - 2xy' + {\lambda}\,y = 0,\qquad \mathrm{z}\qquad\lambda = 2n.\,

Imenuje se Hermitova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je:

(e^{-x^2}\,y')' + e^{-x^2}\,\lambda\,y = 0.\,

Znana je še tretja oblika:

(e^{-x^2/2}\,y)'' + ({\lambda}+1-x^2)(e^{-x^2/2}\,y) = 0.\,

Rekurzivni obrazec je:

H_{n+1}(x) = 2x\,H_n(x) - 2n\,H_{n-1}(x).\,

Rodriquesov obrazec je:

H_n(x) = (-1)^n\,e^{x^2} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right).

Nekaj prvih Hermitovih polinomov je:

H_0(x) = 1\,
H_1(x) = 2x\,
H_2(x) = 4x^2-2\,
H_3(x) = 8x^3-12x\,
H_4(x) = 16x^4-48x^2+12 \,.

Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov[uredi | uredi kodo]

ime in oznaka polinomi Čebišova, \ T_n polinomi Čebišova
(druge vrste), \ U_n
Legendrovi polinomi, \ P_n Hermitovi polinomi, \ H_n
meje ortogonalnosti -1, 1\, -1, 1\, -1, 1\, -\infty, \infty
utežna funkcija w(x)\, (1-x^2)^{-1/2}\, (1-x^2)^{1/2}\, 1\, e^{-x^2}
standardizacija T_n(1)=1\, U_n(1)=n+1\, P_n(1)=1\, Vodeči člen = 2^n\,
kvadrat norme h_n\, \left\{
\begin{matrix}
\pi   &:~n=0 \\
\pi/2 &:~n\ne 0
\end{matrix}\right.
\pi/2\, \frac{2}{2n+1} 2^n\,n!\,\sqrt{\pi}
vodeči člen k_n\, 2^{n-1}\, 2^n\, \frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}\, 2^n\,
drugi člen k'_n\, 0\, 0\, 0\, 0\,
Q\, 1-x^2\, 1-x^2\, 1-x^2\, 1\,
L\, -x\, -3x\, -2x\, -2x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx} (1-x^2)^{1/2}\, (1-x^2)^{3/2}\, 1-x^2\, e^{-x^2}\,
konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_n\, n^2\, n(n+2)\, n(n+1)\, 2n\,
konstanta v Rodriguesovem obrazcu e_n\, (-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}\, 2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}\, (-2)^n\,n!\, (-1)^n\,
rekurzivni odnos a_n\, 2\, 2\, \frac{2n+1}{n+1}\, 2\,
rekurzivni odnos b_n\, 0\, 0\, 0\, 0\,
rekurzivni odnos c_n\, 1\, 1\, \frac{n}{n+1}\, 2n\,
ime in oznaka posplošeni Laquerrovi polinomi, L_n^{(\alpha)} Laguerrovi polinomi, \ L_n
meje ortogonalnosti 0, \infty\, 0, \infty\,
utežna funkcija w(x)\, x^{\alpha}e^{-x}\, e^{-x}\,
standardizacija vodeči člen = \frac{(-1)^n}{n!}\, vodeči člen = \frac{(-1)^n}{n!}\,
kvadrat norme h_n\, \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\, 1\,
vodeči člen k_n\, \frac{(-1)^n}{n!}\, \frac{(-1)^n}{n!}\,
drugi člen k'_n\, \frac{(-1)^{n+1}(n+\alpha)}{(n-1)!}\, \frac{(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}\,
Q\, x\, x\,
L\, \alpha+1-x\, 1-x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx} x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, x\,e^{-x}\,
konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_n\, n\, n\,
konstanta v Rodriguesovemu obrazcu e_n\, n!\, n!\,
rekurzivni odnos a_n\, \frac{-1}{n+1}\, \frac{-1}{n+1}\,
rekurzivni odnos b_n\, \frac{2n+1+\alpha}{n+1}\, \frac{2n+1}{n+1}\,
rekurzivni odnos c_n\, \frac{n+\alpha}{n+1}\, \frac{n}{n+1}\,
ime in oznaka Gegenbauerjevi polinomi, C_n^{(\alpha)} Jacobijevi polinomi, P_n^{(\alpha, \beta)}
meje ortogonalnosti -1, 1\, -1, 1\,
utežna funkcija w(x)\, (1-x^2)^{\alpha-1/2}\, (1-x)^\alpha(1+x)^\beta\,
standardizacija C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\, if \alpha\ne0 P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}\,
kvadrat norme h_n\, \frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2} \frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)}
{n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}
vodeči člen k_n\, \frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(1/2+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+1/2+\alpha)}\, \frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,
drugi člen k'_n\, 0\, \frac{(\alpha-\beta)\,\Gamma(2n+\alpha+\beta)}{(n-1)!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,
Q\, 1-x^2\, 1-x^2\,
L\, -(2\alpha+1)\,x\, \beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)\,x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx} (1-x^2)^{\alpha+1/2}\, (1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,
konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_n\, n(n+2\alpha)\, n(n+1+\alpha+\beta)\,
konstanta v Rodriguesovem obrazcu e_n\, \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n\!+\!1/2\!+\!\alpha)}
{\Gamma(n\!+\!2\alpha)\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} (-2)^n\,n!\,
rekurzivni odnos a_n\, \frac{2(n+\alpha)}{n+1}\, \frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)}
rekurzivni odnos b_n\, 0\, \frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)}
rekurzivni odnos c_n\, \frac{n+2{\alpha}-1}{n+1}\, \frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]