Ortogonalni polinomi

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ortogonalni polinomi v matematiki pomenijo neskončno zaporedje realnih ortogonalnih polinomov samo ene spremenljivke

p_0,\ p_1,\ p_2,\ \ldots.

Pri tem pa ima vsak  p_n \, stopnjo  n \,. Vsaka dva polinoma v zaporedju sta si med seboj ortogonalna v svoji verziji L2 notranjega produkta.

Z ortogonalnimi polinomi so se pričeli ukvarjati že v 19. stoletju. Med znanstveniki, ki so jih proučevali so bili ruski matematik in mehanik Pafnuti Lvovič Čebišov (1821 – 1894) in ruski matematik Andrej Andrejevič Markov (starejši) (1856 – 1922) ter nizozemski matematik Thomas Joannes Stieltjes (1856 – 1894). V 20. stoletju so se največ ukvarjali z ortogonalnimi polinomi madžarsko-britanski matematik Arthur Erdélyi (1908 – 1977) madžarski matematik Gábor Szegő (1895 – 1985) ter ameriški matematik Richard Allen Askey (rojen 1933).

Definicija[uredi | uredi kodo]

Najugodneje je, da za definicijo ortogonalnih polinomov uporabimo oznako za notranji produkt za katerega velja, da je za dva ortogonalna polinoma enak nič

\langle p,q\rangle=0

kjer sta

  •  p(x), q(x) \, ortogonalna polinoma.

Zaporedje ortogonalnih polinomov je zaporedje

p_0,\ p_1,\ p_2,\ \ldots.

Pri tem pa imajo  p_n \, stopnjo n in vsi različni člani zaporedja so ortogonalni drug na drugega. Lastnosti polinomov so odvisni od lastnosti operatorja \langle \cdot,\cdot\rangle.

Diferencialne enačbe, ki vodijo do ortogonalnih polinomov[uredi | uredi kodo]

Pomembni razred ortogonalnih polinomov izhaja iz diferencialne enačbe z obliko

 Q(x) \, f'' +  L(x)\,f' + \lambda  f = 0 \,

kjer je

  •  Q(x) \, največ kvadratni polinom
  •  L(x) \, linearni polinom
  •  f \, funkcija, ki jo je potrebno najti
  •  \lambda \, konstanta, ki jo je potrebno najti.

Enačba pripada Sturm-Liouvilleovemu tipu enačb. Te vrste enačb imajo singularnosti v svojih rešitvah za  f \,, nimajo jih pa za določene vrednosti konstante  \lambda \,. Obstoja vrsta števil  \lambda_0, \lambda_1 \lambda_2 \cdots \,, ki vodijo do vrste rešitev s polinomi  P_0, P_1 P_2 \cdots \,, če velja ena izmed naslednjih trditev

  1.  Q \, je resnični kvadratni polinom,  L \, pa linearni, potem ima  Q \, dva različna realna korena
  2.  Q \, ni resnični kvadratni polinom , koren polinoma  L \, leži natančno med korenoma polinoma  Q \, in vodeči člen polinomov  L \, in  Q \, ima isti predznak.
  3.  Q \, je neničelna konstanta,  L \, je linearni polinom in vodeči člen polinoma  L \, ima nasprotni nasprotni znak kot polinom  Q \,.

Klasična definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo [x_1, x_2] interval na realni premici tako, da velja x_1 = -\infty and x_2 = \infty, kar imenujemo interval ortogonalnosti. Naj bo pozitivna funkcija znotraj intervala

w : [x_1, x_2] \to \mathbb{R}

w mora zadoščati zahtevi, da za polinom  f \, mora biti integral

\int_{x_1}^{x_2} f(x) w(x) \; dx

končen. Funkcijo w imenujemo utežno funkcijo.

Za dani vrednosti  x_1, x_2 \, in w lahko za dana polinoma  f \, in  g \, definiramo

\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) w(x) \; dx..

Ta operacija je notranji produkt nad vektorskim prostorom. S tem pa je določena ortogonalnost dveh polinomov. Torej sta dva polinoma ortogonalna, če je njun notranji (skalarni) produkt enak nič.

Standardizacija[uredi | uredi kodo]

Izbrani notranji produkt določa normo polinoma na običajen način

\| f \| = \langle f, f \rangle^{1 / 2} \,.

Ko pripravljamo ortogonalno bazo, poskušamo pripraviti ortonormalno bazo v kateri bodo vsi bazni elementi imeli normo enako 1. Za polinome to pogosto pomeni preproste kvadratne korene koeficientov. Namesto tega polinome skaliramo tako, da so koeficienti enostavnejši. To imenujemo standardizacija. Klasične polinome pogosto standardiziramo s tem, da postavimo vodeče koeficiente na neko vrednost ali pa postavimo določeno vrednost. Standardizacija na ta način je samo dogovor, nima pa matematičnega pomena. Standardizacija vključuje tudi skaliranje utežne funkcije.

Kvadrat norme polinoma  p_n \, označimo s  h_n \,

h_n = \langle p_n, p_n \rangle \,.

Vrednosti za  h_n \, so za klasične polinome standardizirane (glej tabelo spodaj). To lahko zapišemo tudi kot

\langle p_m, p_n \rangle = \delta_{mn} \sqrt{h_m h_n},

kjer je

Rekurzivni odnos[uredi | uredi kodo]

Vsako zaporedje ortogonalnih polinomov ima svoj rekurzivni obrazec v obliki:

p_{n+1} = (a_nx+b_n) p_n - c_n p_{n-1}. \,

Koeficienti  a \,,  b \, in  c \, so odvisni od  n \,.

Vrednosti  a_n \,,  b_n \, in  c_n \, lahko neposredno določimo. Naj bodo k_j in k_j' prvi in drugi koeficient polinoma p_j:

p_j(x)=k_jx^j+k_j'x^{j-1}+\cdots \,

in naj bo  h_j \, notranji produkt polinoma p_j samega s seboj

h_j\ =\ \langle p_j,\ p_j \rangle.

Iz tega se dobi

a_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\qquad b_n=a_n \left(\frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} -
\frac{k_n'}{k_n} \right), \qquad c_n=a_n \left(\frac{k_{n-1}h_n}{k_n h_{n-1}} \right).

Rodriquesov obrazec[uredi | uredi kodo]

Posamezni členi  P_n(x) \, so sorazmerni z \frac{1}{w(x)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(w(x)[Q(x)]^n\right). Ta obrazec imenujemo Rodriguesov obrazec. Imenuje se po francoskem bankirju, matematiku in socialnem reformatorju Benjaminu Olindeju Rodriguesu (1795 – 185).


Pogosto ga pišemo v obliki

P_n(x) = \frac{1}{{e_n}W(x)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)

kjer je

  •  e_n \, odvisen od standardizacije.

Števila λn[uredi | uredi kodo]

Iz vsega sledi, da je

\lambda_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right).

Ker pa sta Q kvadratni in L linearna polinoma sta Q'' in L' konstanti (glej preglednico spodaj).

Klasični ortogonalni polinomi[uredi | uredi kodo]

Med klasične ortogonalne polinome prištevamo:

Ortogonalni polinomi so rešitve diferencialne enačbe, ki ima obliko

 Q(x) \, f'' +  L(x)\,f' + \lambda  f = 0 \,.

Polinomi Jacobija[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Polinomi Jacobija.

Polinomi Jacobija so rešitve enačbe Jacobija

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{kjer je}\qquad\lambda = n(n+1+\alpha+\beta)\,

Polinomi, ki so jim podobni, imajo interval ortogonalnosti premaknjen in skaliran tako, da interval še vedno obsega  [-1, 1] \, in je potrebno določiti dva parametra (glej tudi Gegenbauerjevi polinomi).

Polinomi Legendra[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Legendrovi polinomi.

Legendrovi polinomi so rešitev diferencialne enačbe

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{with}\qquad\lambda = n(n+1).\,.

To enačbo imenujemo Legendrova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je

([1-x^2]\,y')' + \lambda\,y = 0.\,.

Rekurzivni obrazec za polinome Legendra je

(n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)x\,P_n(x)-n\,P_{n-1}(x)\,.

Najenostavnejši ortogonalni polinomi so polinomi Legendra. Njihov interval ortogonalnosti je [-1, 1], utežna funkcija pa je kar 1.

Nekaj prvih polinomov Legendra je

P_0(x) = 1,\,
P_1(x) = x,\,
P_2(x) = \frac{3x^2-1}{2},\,
P_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2},\,
P_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8},\,
\vdots.

Polinomi so ortogonalni v intervalu [-1, 1], če je le  m \ne n \,, saj velja

\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \, dx = 0..

Polinomi Legendra so standardizirani tako, da je  P_n(1) = 1 \, za vse  n \,.

Posplošeni Legendrovi polinomi[uredi | uredi kodo]

Posplošene Legendrove polinome označimo z

P_\ell^{(m)}(x)

kjer je

Polinomi so definirani kot

P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m\,(1-x^2)^{m/2}\ P_\ell^{[m]}(x).\,.

Opomba:parameter  m \, je zapisan v oklepaju, da ne izgleda kot potenca.

Rekurzivni obrazec za določanje teh polinomov je

(\ell+1-m)\,P_{\ell+1}^{(m)}(x) = (2\ell+1)x\,P_\ell^{(m)}(x) - (\ell+m)\,P_{\ell-1}^{(m)}(x) \,.

Za stalni  m \, je zaporedje P_m^{(m)}, P_{m+1}^{(m)}, P_{m+2}^{(m)}, \dots ortogonalno v intervalu  [-1, 1] \, z utežno funkcijo enako 1.

Za dani  m \, so polinomi rešitev diferencialne enačbe

(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left[\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right]\,y = 0\qquad \mathrm{z}\qquad\lambda = \ell(\ell+1) \,.

Polinomi Gegenbauerja[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Polinomi Gegenbauerja.

Kadar je ena skupina parametrov  \alpha \, in  \beta \, med seboj enaka, dobimo polinome Gegenbauerja. Zapišemo jih kot C_n^{(\alpha)}. Definirani pa so kot

C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}
{\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \  P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}..

Pri tem je Q(x) = 1-x^2\, and L(x) = -(2\alpha+1)\, x Mora pa biti \alpha\, večji od -1/2.

Polinomi Čebišova[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Polinomi Čebišova.

Diferencialna enačba, katere rešitve so Čebišovi polinomi, je

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0\qquad \mathrm{with}\qquad\lambda = n^2 \,.

Imenujemo jo enačba Čebišova.

Rekurzivni obrazec za polinome Čebišova je

T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x) - T_{n-1}(x) \,.

Rodriquesov obrazec je

T_n(x) = \frac{\Gamma(1/2)\sqrt{1-x^2}}{(-2)^n\,\Gamma(n+1/2)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left([1-x^2]^{n-1/2}\right).

Znani so tudi polinomi Čebišova druge vrste, ki pa jih označujemo z  U_n \,.

Polinomi Laquerra[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Polinomi Laquerra.

Najsplošnejši polinomi Laquerra se imenujejo posplošeni polinomi Laquerra in jih označujemo z L_n^{(\alpha)}. Parameter \alpha mora biti večji od -1.

Diferencialna enačba s katero so določeni polinomi Laquerra je

x\,y'' + (\alpha + 1-x)\,y' + {\lambda}\,y = 0\text{ with }\lambda = n.\,

Druga oblika diferencialne enačbe pa je

(x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, y')' + {\lambda}\,x^\alpha \,e^{-x}\,y = 0.\,

Rekurzivni obrazec je

(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha)}(x) = (2n+1+\alpha-x)\,L_n^{(\alpha)}(x) - (n+\alpha)\,L_{n-1}^{(\alpha)}(x).\,

Rodriquesov obrazec je

L_n^{(\alpha)}(x) = \frac{x^{-\alpha}e^x}{n!} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(x^{n+\alpha}\,e^{-x}\right).

Polinomi Hermita[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Polinomi Hermita.

Diferencialna enačba, ki določa polinome Hermita, je

y'' - 2xy' + {\lambda}\,y = 0,\qquad \mathrm{z}\qquad\lambda = 2n.\,

Imenujemo jo Hermitova enačba.

Druga oblika diferencialne enačbe je

(e^{-x^2}\,y')' + e^{-x^2}\,\lambda\,y = 0.\,

Znana je še tretja oblika

(e^{-x^2/2}\,y)'' + ({\lambda}+1-x^2)(e^{-x^2/2}\,y) = 0.\,

rekurzivni obrazec je

H_{n+1}(x) = 2x\,H_n(x) - 2n\,H_{n-1}(x).\,

Rodriquesov obrazec je

H_n(x) = (-1)^n\,e^{x^2} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right).

Nekaj prvih polinomov Hermita je

H_0(x) = 1\,
H_1(x) = 2x\,
H_2(x) = 4x^2-2\,
H_3(x) = 8x^3-12x\,
H_4(x) = 16x^4-48x^2+12 \,.

Tabela klasičnih ortogonalnih polinomov[uredi | uredi kodo]

Ime in oznaka Polinomi Čebišova, \ T_n Polinomi Čebišova
(druge vrste), \ U_n
Polinomi Legendra, \ P_n Polinomi Hermita, \ H_n
Meje ortogonalnosti -1, 1\, -1, 1\, -1, 1\, -\infty, \infty
utežna funkcija w(x)\, (1-x^2)^{-1/2}\, (1-x^2)^{1/2}\, 1\, e^{-x^2}
Standardizacija T_n(1)=1\, U_n(1)=n+1\, P_n(1)=1\, Vodeči člen = 2^n\,
Kvadrat norme h_n\, \left\{
\begin{matrix}
\pi   &:~n=0 \\
\pi/2 &:~n\ne 0
\end{matrix}\right.
\pi/2\, \frac{2}{2n+1} 2^n\,n!\,\sqrt{\pi}
Vodeči člen k_n\, 2^{n-1}\, 2^n\, \frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}\, 2^n\,
Drugi člen k'_n\, 0\, 0\, 0\, 0\,
Q\, 1-x^2\, 1-x^2\, 1-x^2\, 1\,
L\, -x\, -3x\, -2x\, -2x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx} (1-x^2)^{1/2}\, (1-x^2)^{3/2}\, 1-x^2\, e^{-x^2}\,
Konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_n\, n^2\, n(n+2)\, n(n+1)\, 2n\,
Konstanta v obrazcu Rodriguesa e_n\, (-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}\, 2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}\, (-2)^n\,n!\, (-1)^n\,
Rekurzivni odnos a_n\, 2\, 2\, \frac{2n+1}{n+1}\, 2\,
Rekurzivni odnos b_n\, 0\, 0\, 0\, 0\,
Rekurzivni odnos c_n\, 1\, 1\, \frac{n}{n+1}\, 2n\,
Ime in oznaka Posplošeni Laquerrovi polinomi, L_n^{(\alpha)} Polinomi Laguerra, \ L_n
Meje ortogonalnosti 0, \infty\, 0, \infty\,
Utežna funkcija w(x)\, x^{\alpha}e^{-x}\, e^{-x}\,
Standardizacija Vodeči člen = \frac{(-1)^n}{n!}\, Vodeči člen = \frac{(-1)^n}{n!}\,
Kvadrat norme h_n\, \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\, 1\,
Vodeči člen k_n\, \frac{(-1)^n}{n!}\, \frac{(-1)^n}{n!}\,
Drugi člen k'_n\, \frac{(-1)^{n+1}(n+\alpha)}{(n-1)!}\, \frac{(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}\,
Q\, x\, x\,
L\, \alpha+1-x\, 1-x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx} x^{\alpha+1}\,e^{-x}\, x\,e^{-x}\,
Konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_n\, n\, n\,
Konstanta v obrazcu Rodriguesa e_n\, n!\, n!\,
Rekurzivni odnos a_n\, \frac{-1}{n+1}\, \frac{-1}{n+1}\,
Rekurzivni odnos b_n\, \frac{2n+1+\alpha}{n+1}\, \frac{2n+1}{n+1}\,
Rekurzivni odnos c_n\, \frac{n+\alpha}{n+1}\, \frac{n}{n+1}\,
Ime in oznaka Polinomi Gegenbauerja, C_n^{(\alpha)} Polinomi Jacobija, P_n^{(\alpha, \beta)}
Meje ortogonalnosti -1, 1\, -1, 1\,
Utežna funkcija w(x)\, (1-x^2)^{\alpha-1/2}\, (1-x)^\alpha(1+x)^\beta\,
Standardizacija C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\, if \alpha\ne0 P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}\,
Kvadrat norme h_n\, \frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2} \frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)}
{n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}
Vodeči člen k_n\, \frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(1/2+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+1/2+\alpha)}\, \frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,
Drugi člen k'_n\, 0\, \frac{(\alpha-\beta)\,\Gamma(2n+\alpha+\beta)}{(n-1)!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,
Q\, 1-x^2\, 1-x^2\,
L\, -(2\alpha+1)\,x\, \beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)\,x\,
R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx} (1-x^2)^{\alpha+1/2}\, (1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,
Konstanta v diferencialni enačbi {\lambda}_n\, n(n+2\alpha)\, n(n+1+\alpha+\beta)\,
Konstanta v Rodriguesovem obrazcu e_n\, \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n\!+\!1/2\!+\!\alpha)}
{\Gamma(n\!+\!2\alpha)\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} (-2)^n\,n!\,
Rekurzivni odnos a_n\, \frac{2(n+\alpha)}{n+1}\, \frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)}
Rekurzivni odnos b_n\, 0\, \frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)}
Rekurzivni odnos c_n\, \frac{n+2{\alpha}-1}{n+1}\, \frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]