Polinomi Čebišova

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Polinómi Čebišova [~ čebíšova] (tudi polinomi Čebiševa) so v matematiki zaporedje ortogonalnih polinomov, ki so povezani z de Moivreovo formulo in jih lahko preprosto določimo rekurzivno kot na primer Fibonaccijeva ali Lucasova števila. Imenujejo se po Pafnutiju Lvoviču Čebišovu. Polinomi Čebišova so dveh vrst: polinomi Čebišova prve vrste, označeni s T_{n}, in polinomi Čebišova druge vrste, označeni z U_{n}. Črka T se uporablja zaradi različnih prečrkovanj priimka Čebišov: Tchebyshef ali Tschebyscheff.

Polinomi Čebišova T_{n} ali U_{n} so polinomi stopnje n in zaporedje polinomov Čebišova sestavlja polinomsko zaporedje.

Polinomi Čebišova so pomembni v teoriji približkov, ker se ničle polinomov Čebišova prve vrste, imenovane vozli Čebišova, uporabljajo kot vozli v polinomski interpolaciji. Ustrezna interpolacija zmanjša problem Rungejevega pojava in omogoča aproksimacijo, ki je blizu polinomu z najboljšo aproksimacijo za zvezno funkcijo pod maksimalno normo. Ta aproksimacija vodi neposredno k metodi numerične integracije Clenshaw-Curtisove kvadrature.

Polinomi Čebišova prve in druge vrste so rešitve enačb Čebišova:

 \left(1 - x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} + n^{2} y = 0 \!\,

in:

 \left(1 - x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{dx^{2}} - 3x \frac{dy}{dx} + n(n +2) y = 0 \!\, .

Ti enačbi sta poseben primer Sturm-Liouvillove diferencialne enačbe.