Utežna funkcija

Utéžna fúnkcija (oznaka $w(x)\,$) je matematični pripomoček, ki ga uporabljamo pri seštevanju, integriranju in računanju povprečij. Utežno funkcijo uporabimo, kadar hočemo, da bi nekateri elementi imeli več vpliva na končni rezultat. Pogosteje se to dogaja v statistiki in analizi. Vse je močno povezano z merjenjem.

Kadar nočemo uporabljati utežne funkcije, je utežna funkcija enaka $w(x)=1\,$. V tem primeru imajo vsi elementi enak vpliv na končni rezultat in rečemo, da smo dobili neuteženi rezultat. Kadar računamo z utežno funkcijo, rečemo, da smo dobili utežen rezultat, v nasprotnem primeru pa je rezultat neutežen.

Predpostavimo, da je funkcija $f:A\to R^{+}$ realna. V tem primeru je neutežena vsota vrednosti $A\,$ določena kot:

$\sum _{a\in A}f(a)\!\,.$

Utežno funkcijo lahko uporabimo za zvezne in nezvezne primere spremenljivk.

Nezvezna uteženost

Če bi v zgornjem primeru uporabili utežno funkcijo $w:A\to {\mathbb {R} }^{+}\,$, bi bila vsota enaka:

$\sum _{a\in A}f(a)w(a)\!\,.$

Kadar je $B\,$ končna podmnožica množice $A\,$, lahko nadomestimo kardinalnost z uteženo kardinalnostjo:

$\sum _{a\in B}w(a)\!\,.$

Če pa je $A\,$ končna neprazna množica, lahko nadomestimo neuteženo srednjo vrednost:

${\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)$

z uteženo aritmetično sredino:

${\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}\!\,.$

V statistiki se uporablja utežna funkcija, da bi se odpravil vpliv nekaterih zunanjih nagnjenj k določenemu rezultatu. Zgled: $f_{i}\,$-krat merimo količino $f\,$. Pri tem je varianca enaka $\sigma _{1}{^{2}}\,$. Najboljša ocena meritev se dobi kot povprečje vseh meritev z utežmi $w_{i}=1/\sigma _{i}{^{2}}\,$. Tako dobljena varianca je manjša kot pri vsaki neodvisni meritvi $\sigma =1/\sum w_{i}\,$.

V mehaniki imamo primer z $n\,$ telesi na vzvodu na mestih $x_{1},\cdots ,x_{n}\,$. Vzvod je v ravnovesju, če je:

${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\!\,.$

To pa je uteženo povprečje za lege $x_{i}\,$.

Zvezna uteženost

V zvezni uteženosti je uteženost mera $w(x)dx\,$ v neki domeni $\Omega \,$, ki je običajno podmnožica Evklidskega prostora $\mathbb {R} ^{n}\,$. Zgled: $\Omega \,$ je lahko interval $[a,b]\,$.

Predpostavimo, da je funkcija $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$ funkcija z realnimi vrednostmi. V tem primeru je neutežen integral enak:

$\int _{\Omega }f(x)\ dx\!\,$

to z lahkoto posplošimo na utežen integral:

$\int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx\!\,.$

Pri tem pa mora biti funkcija $f\,$ absolutno integrabilna glede na $w(x)dx\,$ zato, da bi bil integral končen.

Če je $E\,$ podmnožica $\Omega \,$, lahko prostornino vrednosti $E\,$, pišemo kot uteženo prostornino:

$vol(E)=\int _{E}w(x)\ dx\!\,.$

Če ima $\Omega \,$ končno neničelno prostornino, lahko neuteženo povprečje:

${\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx$

zamenjamo z uteženim povprečjem:

${\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}\!\,.$

Kadar sta $f:\Omega \to \mathbb {R} \,$ in $g:\Omega \to \mathbb {R} \,$, lahko posplošimo neuteženi notranji produkt z:

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx\!\,$

z uteženim notranjim produktom:

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx\!\,.$