Utežna funkcija

Utéžna fúnkcija (oznaka $w(x) \,$) je matematični pripomoček, ki ga uporabljamo pri seštevanju, integriranju in računanju povprečij. Utežno funkcijo uporabimo, kadar hočemo, da bi nekateri elementi imeli več vpliva na končni rezultat. Pogosteje se to dogaja v statistiki in analizi. Vse je močno povezano z merjenjem.

Kadar nočemo uporabljati utežne funkcije, je utežna funkcija enaka $w(x) = 1 \,$. V tem primeru imajo vsi elementi enak vpliv na končni rezultat in rečemo, da smo dobili neuteženi rezultat. Kadar računamo z utežno funkcijo, rečemo, da smo dobili utežen rezultat, v nasprotnem primeru pa je rezultat neutežen.

Predpostavimo, da je funkcija $f: A \to R^+$ realna. V tem primeru je neutežena vsota vrednosti $A \,$ določena kot:

$\sum_{a \in A} f(a) \!\, .$

Utežno funkcijo lahko uporabimo za zvezne in nezvezne primere spremenljivk.

Nezvezna uteženost

Če bi v zgornjem primeru uporabili utežno funkcijo $w: A \to {\Bbb R}^+ \,$, bi bila vsota enaka:

$\sum_{a \in A} f(a) w(a) \!\, .$

Kadar je $B \,$ končna podmnožica množice $A \,$, lahko nadomestimo kardinalnost z uteženo kardinalnostjo:

$\sum_{a \in B} w(a) \!\, .$

Če pa je $A \,$ končna neprazna množica, lahko nadomestimo neuteženo srednjo vrednost:

$\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} f(a)$

z uteženo aritmetično sredino:

$\frac{\sum_{a \in A} f(a) w(a)}{\sum_{a \in A} w(a)} \!\, .$

V statistiki se uporablja utežna funkcija, da bi se odpravil vpliv nekaterih zunanjih nagnjenj k določenemu rezultatu. Zgled: $f_i \,$-krat merimo količino $f \,$. Pri tem je varianca enaka $\sigma_1{^2} \,$. Najboljša ocena meritev se dobi kot povprečje vseh meritev z utežmi $w_i = 1/ \sigma_i{^2} \,$. Tako dobljena varianca je manjša kot pri vsaki neodvisni meritvi $\sigma = 1/ \sum w_i \,$.

V mehaniki imamo primer z $n \,$ telesi na vzvodu na mestih $x_1, \cdots, x_n \,$. Vzvod je v ravnovesju, če je:

$\frac{\sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i} \!\, .$

To pa je uteženo povprečje za lege $x_i \,$.

Zvezna uteženost

V zvezni uteženosti je uteženost mera $w(x)dx \,$ v neki domeni $\Omega \,$, ki je običajno podmnožica Evklidskega prostora $\mathbb R^n \,$. Zgled: $\Omega \,$ je lahko interval $[a, b] \,$.

Predpostavimo, da je funkcija $f: \Omega \to {\Bbb R}$ funkcija z realnimi vrednostmi. V tem primeru je neutežen integral enak:

$\int_\Omega f(x)\ dx \!\,$

to z lahkoto posplošimo na utežen integral:

$\int_\Omega f(x) w(x)\, dx \!\, .$

Pri tem pa mora biti funkcija $f \,$ absolutno integrabilna glede na $w(x)dx \,$ zato, da bi bil integral končen.

Če je $E \,$ podmnožica $\Omega \,$, lahko prostornino vrednosti $E \,$, pišemo kot uteženo prostornino:

$vol(E) = \int_E w(x)\ dx \!\, .$

Če ima $\Omega \,$ končno neničelno prostornino, lahko neuteženo povprečje:

$\frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\ dx$

zamenjamo z uteženim povprečjem:

$\frac{\int_\Omega f(x)\ w(x) dx}{\int_\Omega w(x)\ dx} \!\, .$

Kadar sta $f: \Omega \to \mathbb {R}\,$ in $g: \Omega \to \mathbb {R}\,$, lahko posplošimo neuteženi notranji produkt z:

$\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx \!\,$

z uteženim notranjim produktom:

$\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx \!\, .$