Legendrovi polinomi

Legendrovi polinómi [ležándrovi ~] so rešitve Legendrove diferencialne enačbe:

${d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0 \!\, .$

Imenovani so po Adrien-Marieu Legendru. Ta navadna diferencialna enačba je pogosto rabljena v fiziki in na drugih tehničnih področjih. Pojavi se pri reševanju Laplaceove enačbe in sorodnih parcialnih diferencialnih enačbah v sfernih koordinatah.

$P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right] \!\, .$

Ortogonalnost

Pomembna lastnost Legendrovih polinomov je, da so ortogonalni v L² na intervalu −1 ≤ x ≤ 1:

$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}$,

(kjer je δ_mn oznaka za Kroneckerjev simbol delta, ki je 1, ko je m = n in 0 sicer).

Zgledi Legendrovih polinomov

Prvih nekaj Legendrovih polinomov:

n	$P_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$x\,$
2	$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,$
3	$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,$
4	$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,$
5	$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,$
6	$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,$
7	$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,$
8	$\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,$
9	$\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,$
10	$\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,$

Glej tudi

• polinomi Čebišova