Hinčinova konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Hinčinova konstanta je v teoriji števil konstanta, ki kaže da je geometrična sredina delnih količnikov razvoja v verižni ulomek za skoraj vsa realna števila ξ enaka ne glede na vrednost ξ.

Za poljubno realno število:

\xi = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;

skoraj vedno velja:

\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = 
K_{0} \,\! ,

kjer je K_{0} Hinčinova konstanta:

K_{0} = \prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right) }^{\log_2 r} \approx 2,6854520010\dots

To lastnost verižnih ulomkov je leta 1934 dokazal Aleksander Jakovljevič Hinčin.

Realna števila, za katere ta lastnost ne velja, so na primer racionalna števila, koreni kvadratnih enačb z racionalnimi koeficienti (vključno s številom zlatega reza φ) in osnova naravnih logaritmov e.

Števila, za katere ta lastnost velja, so po vsej verjetnosti π, Euler-Mascheronijeva konstanta γ in Hinčinova konstanta sama. To ni dokazano.

Hinčinovo konstanto je težko računati. Ni znano ali je iracionalno ali transcendentno število.

Verižni ulomek Hinčinove konstante je (OEIS A002211) :

 K_{0} = [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, ... ] \,\! .

Razvoj v vrsto[uredi | uredi kodo]

Hinčinovo konstanto lahko izrazimo z racionalno vrsto ζ v obliki:

\log K_{0} = \frac{1}{\log 2} \sum_{n=1}^\infty 
\frac {\zeta (2n)-1}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}

ali:

\log K_0 = \frac{1}{\log 2} \left[
\sum_{k=3}^N \log \left(\frac{k-1}{k} \right) \log \left(\frac{k+1}{k} \right)
+ \sum_{n=1}^\infty 
\frac {\zeta (2n,N)}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \right] \!\, ,

kjer je N fiksno celo število in ζ(sn) Hurwitzeva funkcija ζ. Obe vrsti sta močno konvergentni, saj se ζ(n) − 1 za velike n hitro približuje 0. Razvoj lahko podamo tudi z dilogaritmom:

 \log K_0 = \log 2 + \frac{1}{\log 2} \left[
\mbox{Li}_2 \left( \frac{-1}{2} \right) + 
\frac{1}{2}\sum_{k=2}^\infty (-1)^k \mbox{Li}_2 \left( \frac{4}{k^2} \right) \right] \!\, .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]