Hinčinova konstanta

Hinčinova konstanta je v teoriji števil konstanta, ki kaže da je geometrična sredina delnih količnikov razvoja v verižni ulomek za skoraj vsa realna števila ξ enaka ne glede na vrednost ξ.

Za poljubno realno število:

$\xi = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;$

skoraj vedno velja:

$\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K_{0} \,\! ,$

kjer je $K_{0}$ Hinčinova konstanta:

$K_{0} = \prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right) }^{\log_2 r} \approx 2,6854520010\dots$

To lastnost verižnih ulomkov je leta 1934 dokazal Aleksander Jakovljevič Hinčin.

Realna števila, za katere ta lastnost ne velja, so na primer racionalna števila, koreni kvadratnih enačb z racionalnimi koeficienti (vključno s številom zlatega reza φ) in osnova naravnih logaritmov e.

Števila, za katere ta lastnost velja, so po vsej verjetnosti π, Euler-Mascheronijeva konstanta γ in Hinčinova konstanta sama. To ni dokazano.

Hinčinovo konstanto je težko računati. Ni znano ali je iracionalno ali transcendentno število.

Verižni ulomek Hinčinove konstante je (OEIS A002211) :

$K_{0} = [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, ... ] \,\! .$

Razvoj v vrsto

Hinčinovo konstanto lahko izrazimo z racionalno vrsto ζ v obliki:

$\log K_{0} = \frac{1}{\log 2} \sum_{n=1}^\infty \frac {\zeta (2n)-1}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$

ali:

$\log K_0 = \frac{1}{\log 2} \left[ \sum_{k=3}^N \log \left(\frac{k-1}{k} \right) \log \left(\frac{k+1}{k} \right) + \sum_{n=1}^\infty \frac {\zeta (2n,N)}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \right] \!\, ,$

kjer je N fiksno celo število in ζ(s, n) Hurwitzeva funkcija ζ. Obe vrsti sta močno konvergentni, saj se ζ(n) − 1 za velike n hitro približuje 0. Razvoj lahko podamo tudi z dilogaritmom:

$\log K_0 = \log 2 + \frac{1}{\log 2} \left[ \mbox{Li}_2 \left( \frac{-1}{2} \right) + \frac{1}{2}\sum_{k=2}^\infty (-1)^k \mbox{Li}_2 \left( \frac{4}{k^2} \right) \right] \!\, .$

Glej tudi

• Lévyjeva konstanta