Uporabnik:Marko Petek/Peskovnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Valovni paket, ki je omejen v prečni smeri glede na os propagacije, se v tej smeri s časom razleze. Ožji kot je na začetku, hitreje se razleze. Pojavu pravimo uklon.

Svetloba je elektromagnetno valovanje z ozkega pasu elektromagnetnega spektra, na katerem so za elektromagnetno valovanje občutljive fotoreceptorske celice v mrežnici človeškega očesa. Sestavljajo jo potujoči monokromatski ravni valovi s frekvencami od 400 THz do 789 THz, oziroma ustreznimi vakuumskimi valovnimi dolžinami od 750 nm do 380 nm [1]. Ravni valovi so preproste neničelne rešitve valovne enačbe, ki v prečni smeri glede na potovanje vala ne zamrejo. Zaradi tega prenašajo neskončno količino energije in so nefizikalne [2]. Ker je valovna enačba linearna parcialna diferencialna enačba, lahko s superpozicijo ortogonalnih ravnih valov sestavimo valovni paket poljubne oblike, ki prenaša končno količino energije [3].

Beseda svetloba včasih označuje širši pas elektromagnetnega spektra, ki poleg že omenjenega pasu vidne svetlobe vključuje še pasova infrardeče (od 0,3 THz do 400 THz) in ultravijolične svetlobe (od 789 THz do 34×103 THz) [4]. V fiziki je pojem svetloba pogosto kar sopomenka za (kakršnokoli) elektromagnetno valovanje.

Elektromagnetno valovanje se skozi vakuum razširja s svetlobno hitrostjo 299 792 458 m/s. Z delcem interagira (izmenja energijo, gibalno in vrtilno količino) samo, če ta poseduje električni naboj. Interakcija poteka v diskretnih paketih - kvantih svetlobe ali fotonih. Ti imajo nekatere lastnosti valovanja in nekatere lastnosti delcev, kar imenujemo valovno-delčni dualizem. Elektromagnetno valovanje torej ne more imeti poljubne energije, gibalne ali vrtilne količine [5].

Maxwellove enačbe in valovna enačba[uredi | uredi kodo]

Prostorski in časovni razvoj elektromagnetnega polja narekujejo (podobno kot na uvodni sliki) štiri Maxwellove enačbe, ki jih v vakuumu zapišemo kot [3]:



Izgovorjava enačb (1) in (2)

Polji in , ki v vakuumu ne zadovoljita teh enačb, v naravi ne obstajata. Enačbi (2) sta sklopljeni parcialni diferencialni enačbi, ki podajata časovni razvoj polj, medtem ko enačbi (1) podajata začetne pogoje. To opazimo, če na enačbi (2) delujemo z divergenco, upoštevamo, da je divergenca rotorja enaka nič, in dobimo:



Če sta polji na začetku brez-divergenčni, kot zahtevata enačbi (1), enačbi (3) poskrbita, da bosta polji takšni tudi ostali. Iz Maxwellovih enačb v vakuumu lahko izluščimo še, da električno in magnetno polje vsako zase zadostujeta vektorski obliki klasične valovne enačbe [3]:



Izpeljava valovne enačbe (4) za električno polje

Na prvo enačbo iz seta (2) delujemo z rotorjem:



na desni strani namesto vstavimo drugo enačbo iz seta (2):



in upoštevamo zvezo:



Tako dobimo:



ker je divergenca električnega polja enaka nič (prva enačba iz seta (1)) pridemo do valovne enačbe:


Pomembno se je zavedati, da poljubni vektorski funkciji, ki zadoščata enačbama (4), še nista nujno rešitvi Maxwellovih enačb. Funkciji sta rešitvi samo, če sta brez-divergenčni, kot zahtevata enačbi (1), in če ju lahko sklopimo, da ugodita enačbama (2). Tega ni težko storiti za ravne valove [3].

Transverzalni ravni valovi kot rešitve Maxwellovih enačb[uredi | uredi kodo]

Primer ravnega vala v dveh dimenzijah (os propagacije z in prečna os x), ki je sicer objekt v treh dimenzijah. Na navpično os nanašamo (poljubno) komponento vektorske funkcije ravnega vala ob nekem določenem času.

Valovna enačba (4) ima za vsako izmed polj dve linearno neodvisni rešitvi oblike:



Takšnim funkcijam pravimo potujoči ravni valovi, saj zavzemajo konstantne vrednosti na xy ravninah z - ct = konst., oziroma z + ct = konst. Ravna vala z indeksom minus se propagirata v pozitivni smeri z-osi, ravna vala z indeksom plus pa v negativni smeri z-osi. Splošna rešitev valovne enačbe je kombinacija obeh nasproti potujočih ravnih valov:



Take funkcije imajo ponavadi značaj stoječega valovanja. Ugotovili smo že, da so splošne rešitve valovne enačbe le kandidati za rešitve Maxwellovih enačb v vakuumu. Da sta in iz enačb (5) in (6) rešitvi Maxwellovih enačb, mora zanju veljati še:

• ravni valovi  , , in   morajo imeti komponento v smeri propagacije vedno in povsod enako nič,
• veljati mora  ,  kar pomeni, da morata biti vektorja in medsebojno pravokotna,

• veljati mora tudi  ,  kar pomeni, da morata biti vektorja in medsebojno pravokotna.

Prva alineja zahteva, da sta in iz enačb (5) in (6) povsod in vedno pravokotna na os z, torej nihata transverzalno nanjo. Takemu valovanju pravimo transverzalno elektromagnetno (TEM) valovanje. K zadnjima dvema alinejama pa dodajmo, da in za splošno linearno kombinacijo ravnih valov, ki se propagirata v nasprotnih smereh, nista nujno medsebojno pravokotna. Takšna kombinacija ima vedno vsaj malo značaja stoječega valovanja.

Ravni transverzalni elektromagnetni val narisan v eni dimenziji (vzdolž osi propagacije). Vzorec se v prečnih smereh ponavlja v neskončnost. Električni in magnetni vektor sta vedno medsebojno pravokotna.
Silnice električnega in magnetnega polja za ravni val z zgornje slike.

Opisali smo le rešitve Maxwellovih enačb v vakuumu, ki se propagirajo vzdolž z-osi. Ker zakoni narave ne morejo biti odvisni od naše izbire orientacije koordinatnega sistema, so ravni valovi, ki se propagirajo v poljubno smer v prostoru, prav tako rešitve Maxwellovih enačb. Ravni transverzalni elektromagnetni val, ki se propagira v neki smeri , zapišemo z vektorsko funkcijo :



ki v celoti leži v ravnini pravokotni na konstantni valovni vektor . Skalarno spremenljivko    imenujemo faza. Vidimo, da velja


Ravni valovi so nefizikalni, saj katerokoli valovanje, ki se razteza v neskončnost, v naravi ne obstaja. Ta pomanjkljivost nas ne odvrne od preučevanja ravnih valov, ker:

  • je veliko realnih elektromagnetnih valov lokalno (v omejenem delu prostora) podobnih ravnemu valu,
  • lahko ravne valove superponiramo, da dobimo prostorsko omejene realne valove.
Shema povezanih električnih in magnetnih silnic za elektromagnetno valovanje, ki se propagira na desno. Maxwell je takšno povezanost električnega in magnetnega polja imenoval "vzajemni objem" [3].

S preučevanjem izključno ravnih valov pa zgrešimo temeljni mehanizem propagacije prostorsko omejenih realnih valov. Polje takšnih valov ni nujno transverzalno; električni in magnetni vektor lahko imata komponento vzdolž smeri razširjanja valovanja različno od nič. Še več: da polji zadostita divergenčnima enačbama (1), njune silnice tvorijo zaključene zanke. Zanke polja in zanke polja se prepletajo kot členi verige (slika desno). Ta topologija, ki jo je Maxwell imenoval "vzajemni objem", zagotovi, da Faradayev zakon (druga enačba iz seta (2)) dinamično generira nove zanke in da Ampere-Maxwellov zakon (prva enačba iz seta (2)) dinamično generira nove zanke [3].

S preučevanjem izključno ravnih valov spregledamo tudi bolj realistično razlago za uklon svetlobe (glej uvodno sliko), ki ga moramo nato pojasnjevati preko Huygensovega načela.

Fazna hitrost[uredi | uredi kodo]

Faza ravnega vala je konstantna v ravninah, ki so pravokotne na valovni vektor .

Skalarno funkcijo:



ki nastopa kot argument valov (7) in (8), imenujemo faza. Fazni zamik pove fazo na kraju nič ob času nič. Iz te definicije je razvidno, da je ob nekem izbranem času konstantna povsod v ravnini, ki vsebuje točko in je pravokotna na valovni vektor . Posledično sta tudi magnitudi in na takšnih ravninah konstantni. V nadaljnji obravnavi konstantni fazni zamik ne bo pomemben, zato nanj pozabimo. Če fazo zapišemo kot:



in za izberemo poljubno točko , ugotovimo, da je faza konstantna vzdolž trajektorije . To pomeni, da se vsaka ravnina s konstantno fazo giba v smeri pravokotno nase s fazno hitrostjo:


Da polji (7) in (8) zadovoljita valovni enačbi (4), mora biti konstanta c (magnituda vektorja fazne hitrosti) enaka:


Električna permitivnost vakuuma in magnetna permeabilnost vakuuma , igrata ključno vlogo pri električnih in magnetnih pojavih, ki so jih poznali že pred Maxwellom. Fazna hitrost elektromagnetnega valovanja, ki jo dobimo, če v izraz (12) vstavimo vrednosti konstant in , je enaka eksperimentalno izmerjeni hitrosti svetlobe 3 × 108 m/s. To je Maxwella pripeljalo do ugotovitve, da je svetloba elektromagnetno valovanje [3].

Mehanične lastnosti[uredi | uredi kodo]

Do gostote energije na poljubnem mestu v ravnem valu pridemo tako, da enačbi (7) in (8) vstavimo v splošni izraz za gostoto energije in upoštevamo, da sta in pravokotna:



Podobno pridemo do izraza za vektor gostote energijskega toka na poljubnem mestu v ravnem valu. Tega imenujemo tudi Poyntingov vektor:



Podobno se dokopamo še do vektorja gostote gibalne količine za ravni val:



Te formule nam povejo, da ravni elektromagnetni val prenaša energijo in gibalno količino s svetlobno hitrostjo v smeri propagacije vala. Zapisano jedrnato:


Vektor vrtilne količine na enoto volumna za elektromagnetno polje zapišemo kot . Če uporabimo prvo enačbo iz seta (16), spoznamo, da ravni elektromagnetni val ne prenaša vrtilne količine v smeri propagacije. To je povezano z neskončno prečno razsežnostjo ravnega vala. Realni elektromagnetni valovi so zmožni prenašati vrtilno količino.

Elektromagnetni valovi lahko svojo energijo, gibalno ter vrtilno količino izmenjujejo s skupkom snovnih delcev. To pripelje do zaključka, da in ne tvorita nič manj realnega mehanskega sistema, kot ga tvori skupek snovnih delcev [3].

Monokromatski ravni valovi[uredi | uredi kodo]

Nekaj parametrov sinsunega vala iz enačbe (17), ki je narisan ob času nič. Izbrali smo, da valovni vektor kaže vzdolž osi z.
Monokromatski transverzalni elektromagnetni val.

Monokromatske ravne valove preučujemo, ker iz njih najlažje sestavimo realne valovne pakete. Monokromatski ravni val s krožno frekvenco    in valovno dolžino    je poseben primer splošnega ravnega vala iz enačb (7) in (8). Zapišemo ga kot:



kjer je poljubni fazni zamik, ki poda obliko vala ob času nič. Poglavitna lastnost monokromatskega ravnega vala je periodičnost, kar pomeni, da je magnituda enaka na ravninah (pravokotnih na valovni vektor), ki so med sabo oddaljene za valovno dolžino. Enako velja tudi za . Zaradi periodičnosti so monokromatski ravni valovi poleg prečne neomejenosti neomejeni tudi v smeri propagacije. Ponavadi jih raje preučujemo v kompleksni obliki, ki izrablja Eulerjevo formulo:



kjer so  ,   in    kompleksni vektorji.

Informacija o faznem zamiku je skrita v kompleksni amplitudi

Kompleksna amplituda    se s parametri iz enačbe (17) izraža kot:



kar postane jasno, če zgornji izraz vstavimo v (18):

Če izraza (18) zapišemo v obliki, ki neposredno izpostavi njun realni in imaginarni del:



vidimo, da je vsa bistvena informacija vsebovana v realnem delu kompleksne oblike (primerjaj z enačbo (17)). Kljub temu, da kompleksna oblika nosi v svojem imaginarnem delu presežek informacij, z njo računamo lažje kot z realno obliko. Na koncu izračuna moramo za pridobitev rezultata vzeti le realni del kompleksnega zapisa:



Časovno povprečje energijske gostote monokromatskega ravnega vala je na vsakem mestu v prostoru enako:



Integracija konstante (21) po celem prostoru da divergentno energijo. To je artefakt (nefizikalne) neskončne razsežnosti ravnega vala. Časovno povprečeni gostota gibalne količine in gostota energijskega toka sta enaki:



Spekter vidne svetlobe[uredi | uredi kodo]

Spekter vidne svetlobe[1]

Spekter vidne svetlobe obsega valovne dolžine od 380 do 750 nm.

Intenziteta elektromagnetnega valovanja[uredi | uredi kodo]

Polarizacija[uredi | uredi kodo]

Valovni paketi[uredi | uredi kodo]

Uklon svetlobe[uredi | uredi kodo]

Lom svetlobe[uredi | uredi kodo]

Odboj svetlobe[uredi | uredi kodo]

Sipanje svetlobe[uredi | uredi kodo]

Meje veljavnosti klasične elektrodinamike in fotoni[uredi | uredi kodo]

Literatura[uredi | uredi kodo]

  1. 1,0 1,1 T. J. Bruno in P. D. N. Svoronos, CRC Handbook of Fundamental Spectroscopic Correlation Charts (CRC Press, Boca Raton, 2005)
  2. B. E. A. Saleh, Fundamentals of Photonics, 2nd ed. (John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, 2007)
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 A. Zangwill, Modern Electrodynamics (Cambridge University Press, New York, 2013)
  4. E. Hecht, Optics, 4th ed. (Addison Wesley, San Francisco, 2002)
  5. R. Harris, Modern Physics, 2nd ed. (Pearson, San Francisco, 2008)

Glej tudi[uredi | uredi kodo]