Poyntingov vektor

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Sevanje dipola. Dipol je vzporeden z osjo z, električno polje in Poyntingov vektor pa ležita v ravnini x-z.

Poyntingov véktor (ali tudi Umov-Poyntingov vektor [pójtingov ~/úmov-pójtingov ~]; označba \vec\mathcal{P} ali \vec\mathbf{S}) je v fiziki vektorska količina in predstavlja smer in velikost energijskega toka elektromagnetnega polja. Imenuje se po angleškem fiziku Johnu Henryju Poyntingu, ki ga je leta 1884 uvedel. Določen je kot:

\vec\mathcal{P} = \vec\mathbf{E} \times \vec\mathbf{H} \!\, .

Tako je izvorno zapisal vektor tudi Poynting sam in takšno obliko pogosto imenujejo Abrahamova oblika. Tu sta \vec\mathbf{E} jakost električnega polja in \vec\mathbf{H} jakost magnetnega polja.[1][2] (Vse krepke črke predstavljajo vektorje.) Gostoto energijskega toka (v W/m2) izračunamo kot časovno povprečje Poyntingovega vektorja:

 j = \overline\mathcal{P} \!\, . [3]

Včasih rabijo drugo definicijo z jakostjo električnega polja \vec\mathbf{E} in gostoto magnetnega polja \vec\mathbf{B}. V obliki Minkowskega sta gostota električnega polja \vec\mathbf{D} in gostota magnetnega polja \vec\mathbf{B}. S količinama \vec\mathbf{D} in \vec\mathbf{H} je moč zapisati Poyntingov vektor v četrti obliki.[4] Izbira količin je sporna. Pfeifer idr. lepo povzamejo stoletja dolg spor med zagovorniki Abrahamove oblike in oblike Minkowskega.[5] Druga definicija je smiselna, ker sta \vec\mathbf{E} in \vec\mathbf{B} osnovni količini.[5]

Poyntingov vektor sta neodvisno odkrila tudi Oliver Heaviside in Nikolaj Aleksejevič Umov (1874).[6] Umov je podal obliko vektorja za energijski tok v kapljevinasti in elastični snovi v popolnoma splošnem smislu.[7] Poyntingovo delo s tega področja je bilo prvič objavljeno leta 1884.[1]

Interpretacija[uredi | uredi kodo]

Poyntingov vektor se pojavlja v Poyntingovem izreku, zakonu o ohranitvi energije:[2]

 \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{\nabla} \cdot \vec\mathcal{P} = - \vec\mathbf{j}_{\rm f} \cdot \vec \mathbf{E},

kjer je \vec\mathbf{j}_{\rm f} gostota električnega toka prostih nabojev, u\!\, pa elektromagnetna gostota energijskega toka:

 u = \frac{1}{2}\left(\vec\mathbf{E} \cdot \vec\mathbf{D} + \vec\mathbf{B}\cdot \vec\mathbf{H}\right) \!\, .

Prvi člen na desni strani predstavlja čisti elektromagnetni energijski tok v majhno prostornino, drugi člen pa odšteti del dela prostih električnih tokov, ki se niso nujno pretvorili v elektromagnetno energijo (disipacija, toplota). Pri tej deiniciji mejni električni tokovi niso vključeni v ta člen, in namesto tega prispevajo k \vec\mathcal{P} in \vec\mathbf{u}.

Pri tem je \vec\mathbf{u} podana le, če so snovi nedisperzivne in enolične, oziroma, če lahko konstitutivni zvezi zapišemo kot:

 \vec\mathbf{D} = \epsilon \vec\mathbf{E}, \;\;\; \vec\mathbf{H} = \vec\mathbf{B}/\mu \!\,

kjer sta ε in μ konstanti (odvisni od snovi skozi katero teče energija), dielektričnost in magnetna permeabilnost snovi.[2]

To praktično omejuje Poyntingov izrek v tej obliki za polja v praznem prostoru. Posplošitev za disipativne snovi je možna pod določenimi pogoji za ceno dodatnih členov in izgubo njihovih jasnih fizikalnih interpretacij.[2]

Poyntingov vektor se običajno interpretira kot energijski tok, kar strogo gledano pravilno le za elektromagnetno valovanje. V splošnem primeru se kot količina pojavlja kot divergenca, kar pomeni, da lahko opiše le spremembo gostote energijskega toka v prostoru, ne pa tudi energijski tok.

Formulacija s členi mikroskopskih polj[uredi | uredi kodo]

V nekaterim primerih je ustrezneje definirati Poyntingov vektor \mathcal{P} kot:

 \vec\mathcal{P} = \frac{1}{\mu_{0}} \vec\mathbf{E} \times \vec\mathbf{B} \!\, ,

kjer je \mu_{0} indukcijska konstanta. Lahko se izvede neposredno iz Maxwellovih enačb s skupnim nabojem in tokom, ter zakonom o Lorentzovi sili.

Odgovarjajoča oblika Poyntingovega izreka je:

 \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot \vec\mathcal{P} = - \vec\mathbf{j}\cdot \vec\mathbf{E} \!\, ,

kjer je \vec\mathbf{j} skupna gostota električnega polja in elektromagnetna gostota energijskega toka u\!\,:

 u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_{0} \vec\mathbf{E}^{2} + \frac{\vec\mathbf{B}^{2}}{\mu_{0}}\right) \!\, ,

kjer je \varepsilon_{0}\!\, influenčna konstanta.

Obe definiciji Poyntingovega vektorja sta enakovredni v vakuumu in nemagnetnih snoveh, kjer je \vec\mathbf{B}=\mu_{0} \vec\mathbf{H}. V vseh drugih primerih se razlikujeta za \vec\mathcal{P}=1/\mu_{0} \vec\mathbf{E}\times \vec\mathbf{B}, odgovarjajoče gostote u pa so le sevajoče, saj disipacijski člen -\vec\mathbf{j}\cdot \vec\mathbf{E} pokriva celotni tok. V definiciji s \vec\mathbf{H} so prispevki od mejnih tokov, ki potem manjkajo v disipacijskem členu.[8]

Ker sta v izpeljavi \vec\mathcal{P}=1/\mu_{0} \vec\mathbf{E}\times \vec\mathbf{B} potrebni le mikroskopski polji \vec\mathbf{E} in \vec\mathbf{B}, se lahko popolnoma ognemo privzetku o prisotnosti poljubne snovi, tako da Poyntingov vektor in tudi tako definiran izrek veljata v splošnem - v vakuumu in v vsakršni snovi. To še posebej velja za elektromagnetno gostoto energijskega toka v nasprotju z zgornjim primerom.[8]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 Poynting (1884).
  2. ^ 2,0 2,1 2,2 2,3 Jackson (1998).
  3. ^ Breuer (1993), str. 233.
  4. ^ Kinsler, Favaro, McCall (2009).
  5. ^ 5,0 5,1 Pfeifer; idr. (2007).
  6. ^ Sivuhin (1975), str. 519.
  7. ^ Umov (1874).
  8. ^ 8,0 8,1 Richter, Florian, Henneberger (2008).

Viri[uredi | uredi kodo]