Stieltjesove konstante

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Površina modrega območja konvergira k Euler-Mascheronijevi konstanti, ki je ničta Stieltjesova konstanta.

Stieltjesove konstante (ali posplošene Eulerjeve konstante[1]) so v matematki števila , ki se pojavljajo v Laurentovi vrsti za Riemannovo funkcijo ζ:

Ničta Stieltjesova konstanta je znana kot Euler-Mascheronijeva konstanta. Konstante se imenujejo po nizozemskem matematiku Thomasu Joannesu Stieltjesu in redkeje po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju.

Izrazi[uredi | uredi kodo]

Stieltjes je pokazal, da so konstante dane z limito:[1][2]

[a]

Cauchyjeva formula za odvod vodi do integralskega izraza:

Več integralskih izrazov in neskončnih vrst so v svojem delu podali Jensen, Franel, Hermite, Hardy, Ramanudžan, Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine in drugi avtorji.[3][4][5][6][7][8] Še posebej Jensen-Franelova integralska formula, večkrat napačno pripisana Ainsworthu in Howellu, pravi, da velja:

kjer je Kroneckerjeva delta.[7][8] Med drugimi formulami so (glej: [3][7][9]):

Znano vrsto, ki vsebuje celi del logaritma, je podal Hardy leta 1912:[10]

Tu je dvojiški logaritem.

Israilov[11] je podal delno konvergentno vrsto z Bernoullijevimi števili :

Oloa in Tauraso[12] sta pokazala, da vrsta s harmoničnimi števili lahko vodi do Stieltjesovih konstant:

Blagouchine[8] je našel počasi konvergentno vrsto, ki vsebuje nepredznačena Stirlingova števila prve vrste :

kot tudi delno konvergentno vrsto s samimi racionalnimi členi:

Več drugih vrst je danih v Coffeyjevemu delu.[4][5]

Asimptotična rast[uredi | uredi kodo]

Za Stieltjesove konstante velja meja:

ki jo je podal Berndt leta 1972.[13] Boljše meje so našli Lavrik, Israilov, Matsuoka, Nan-You, Williams, Knessl, Coffey, Adell, Saad-Eddin, Fekih-Ahmed in Blagouchine.[b] Eno od najboljših ocen z elementarnimi funkcijami je podal Matsuoka leta 1985:[14]

Dokaj točne ocene z neelementarnimi funkcijami so podali Knessl, Coffey[15] in Fekih-Ahmed.[16] Knessl in Coffey sta na primer dala naslednjo formulo, ki relativno dobro aproksimira Stieltjesove konstante za velike .[15] Če je enolična rešitev enačbe:

z , in, če je , potem velja:

kjer je:

Vse do Knessl-Coffeyjev približek trenutno predvideva predznak z eno izjemo za .[15]

Številske vrednosti[uredi | uredi kodo]

Prve desetiške vrednosti Stieltjesovih konstant podaja razpredelnica:

desetiške vrednosti OEIS
0 +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 A001620
1 −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 A082633
2 −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 A086279
3 +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 A086280
4 +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 A086281
5 +0,0007933238173010627017533348774444448307315394 A086282
6 −0,0002387693454301996098724218419080042777837151 A183141
7 −0,0005272895670577510460740975054788582819962534 A183167
8 −0,0003521233538030395096020521650012087417291805 A183206
9 −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 A184853
10 +0,0002053328149090647946837222892370653029598537 A184854
100 −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 · 1017  
1000 −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 · 10486  
10000 −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 · 106883  
100000 +1,9919273063125410956582272431568589205211659777 · 1083432  

Za velike absolutne vrednosti Stieltjesovih konstant naraščajo hitro, predznak pa se spreminja v zapletenem vzorcu.

Dodatne informacije o numeričnem določevanju Stieltjesovih konstant se lahko najde v delu avtorjev: Keiper,[17] Kreminski,[18] Plouffe[19] in Johansson.[20] Johansson je podal vrednosti Stieltjesovih konstant do , vsaka točna na več kot 10000 števk. Številske vrednosti se lahko dobijo v podatkovni bazi LMFDB.[21]

Posplošene Stieltjesove konstante[uredi | uredi kodo]

Splošna informacija[uredi | uredi kodo]

Bolj splošno se lahko definirajo Stieltjesove konstante , ki se pojavljajo v Laurentovi vrsti za Hurwitzevo funkcijo ζ:

Tu je kompleksno število z . Ker je Hurwitzeva funkcija ζ posplošitev Riemannove funkcije ζ, velja . Ničta konstanta je preprosto funkcija digama .[22] Za druge konstante ni znana razčlenitev na elementarne ali klasične funkcije iz analize. Ne glede na to obstaja več izrazov zanje. Na primer naslednji asimptotični izraz:

ki sta jo podala Berndt in Wilton. Analogon Jensen-Franelove formule za posplošeno Stieltjesovo konstanto je Hermitova formula:[7]

Za posplošene Stieltjesove konstante velja naslednja rekurenčna zveza:

kakor tudi multiplikacijski izrek:

kjer označuje binomski koeficient.[23][24]:101–102

Prva posplošena Stieltjesova konstanta[uredi | uredi kodo]

Prva posplošena Stieltjesova konstanta ima več pomembnih značilnosti.

  • Malmstenova enakost (refleksijska formula za prve posplošene Stieltjesove konstante): refleksijska formula za prvo posplošeno Stieltjesovo konstanto ima obliko:

kjer sta in takšni pozitivni celi števii, da velja , pa je funkcija Γ. Formulo so dolgo časa pripisovali Almkvistu in Meurmanu, ki sta jo izpeljala v 1990-ih.[25] Vendar je nedavno Blagouchine odkril, da je to enakost, sicer v malo drugačni obliki, našel Malmsten leta 1846.[7][26]

  • Izrek o racionalnih argumentih: prva posplošena Stieltjesova konstanta z racionalnim argumentom se lahko izračuna iz delno sklenjene oblike s formulo:[7][22]

Alternativni dokaz je kasneje predložil Coffey.[27]

  • Končne vsote: za prve posplošene Stieltjesove konstante obstaje veliko sumacijskih formul. Na primer:[c]
  • Nekatere posebne vrednosti: nekatere posebne vrednosti prve Stieltjesove konstante z racionalnimi argumenti se lahko zreducirajo na funkcijo Γ, prvo Stieltjesovo konstanto in elementarne funkcije. Na primer:
(OEIS A254327),

Vrednosti prvih posplošenih Stieltjesovih konstant v točkah 1/4, 3/4 in 1/3 sta prva neodvisno izračunala Connon[28] in Blagouchine[24]

(OEIS A254347),
(OEIS A254348),
(OEIS A254331).

Vrednosti v točkah 2/3, 1/6 in 5/6 je izračunal Blagouchine.[24]:

(OEIS A254345),
(OEIS A254349),
(OEIS A254350),

Podal je tudi vrednosti v točkah 1/5, 1/8 in 1/12:

(OEIS A251866),
(OEIS A255188),
(OEIS A255189),

kakor tudi nekatere druge vrednosti.

Druga posplošena Stieltjesova konstanta[uredi | uredi kodo]

Drugo posplošeno Stieltjesovo konstanto so manj raziskovali od prve. Blagouchine je pokazal, da se lahko podobno kot prva posplošena Stieltjesova konstanta druga posplošena Stieltjesova konstanta z racionalnim argumentom izračuna s pomočjo formule:

Podobni rezultat je kasneje dobil Coffey z drugo metodo.[27]

Opombe[uredi | uredi kodo]

  1. V primeru prvi sumandd zahteva računanje 00, kar je zaradi praznega produkta po dogovoru enako 1.
  2. Glej seznam virov dan v [8].
  3. Za podrobnosti in druge sumacijske formule glej [7][24].

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]