Paretova porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Paretova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev z xm=1.
Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev.
oznaka Pareto(x_m, k) \!
parametri x_\mathrm{m}>0\, parameter merila (realno število)
k>0\, parameter oblike (realno število)
interval x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\text{ za }x>x_m\!
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k \!
pričakovana vrednost \frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\text{ za }k>1\,
mediana x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}
modus x_\mathrm{m}\,
varianca \frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\text{ za }k>2\,
simetrija \frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\text{ za }k>3\,
sploščenost \frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\text{  }k>4\,
entropija \ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!
funkcija generiranja momentov
(mgf)
k(-x_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-x_\mathrm{m}t)\text{ za}t<0\,
karakteristična funkcija k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,

Paretova porazdelitev [parétova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po italijanskem ekonomistu Vilfredu Paretu (1848 - 1923). Uporablja se na področju socialnih, geofizikalnih in zavarovalniških ved. Zunaj ekonomskih ved se pogosto imenuje tudi Bradfordova porazdelitev.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Če je X slučajna spremenljivka, ki se podreja Paretovi porazdelitvi, potem je verjetnost, da bo zavzela vrednost večjo od x enaka:

P(X>x) = \begin{cases}
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k & \text{za }x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & \text{za } x < x_\mathrm{m}.
\end{cases}

kjer je

  • x_m \! minimalna vrednost, ki jo lahko zavzame slučajna spremenljivka X
  • k \! pa je pozitivno celo število.

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Paretova porazdelitev se uporablja na mnogih področjih :

itd.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev je

f_X(x)= \begin{cases} k\,\dfrac{x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}} & \text{za }x > x_\mathrm{m}, \\[12pt] 0 & \text{za } x < x_\mathrm{m}. \end{cases} .

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

F_X(x) = \begin{cases}
1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k & \text{za } x \ge x_\mathrm{m}, \\
0 & \text{za }x < x_\mathrm{m}.
\end{cases}
.

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\text{ za }k>1\,.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\text{ za }k>2\,.

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je

\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\text{ za }k>4\,.

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak

\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\text{ za }k>3\,.

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

k(-x_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-x_\mathrm{m}t)\text{ za} t<0\,

kjer je

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je

k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,

kjer je

Povezava z Diracovo delta funkcijo[uredi | uredi kodo]

Ko je  k  \to \infty\!, se porazdelitev približuje vrednosti \delta(x-x_m) \!, kjer je  \delta \! Diracova delta funkcija.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

 Y = \log\left(\frac{X}{x_\mathrm{m}}\right). .

V tem primeru je slučajna spremenljivka Y \! porazdeljena po eksponentni porazdelitvi tako, da je verjetnost, da bo spremenljivka Y zavzela vrednost večjo od y enaka

 P(Y > y) = e^{-k y}. \,

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]