Verjetnost

Članki iz niza gotovost:
agnosticizem aproksimacija determinizem epistemologija gotovost nedoločenost negotovost nihilizem verjetnost zaupanje zmotnost

Verjétnost je število, ki pove, kolikšna je možnost, da se zgodi nek dogodek. Verjetnost je temeljni pojem matematične panoge, ki se imenuje verjetnostni račun.

Verjetnost dogodka $A$ se označi s $P(A)$. Črka $P$ izvira iz latinščine probabilitas – verjetnost.

Definicija verjetnosti

Obstaja več matematičnih definicij verjetnosti.

Klasična definicija

Naj je verjetnostni poskus, ki ima $n$ med seboj enakovrednih izidov (enakovrednost izidov pomeni, da se vsi izidi pojavijo približno enako pogosto, če se poskus ponovi večkrat). Opazuje se dogodek $A$, za katerega je ugodnih $m$ izidov. Po klasični definiciji je verjetnost dogodka $A$ razmerje med številom ugodnih izidov in številom vseh možnih izidov:

$P(A)={\frac {m}{n}}={\frac {\rm {{\check {s}}tevilo~ugodnih~izidov}}{\rm {{\check {s}}tevilo~vseh~izidov}}}\!\,.$

Zgled: v nekem mestu živi 6850 prebivalcev. Trenutno je v tem mestu 822 prebivalcev okuženih z virusom gripe. Kolikšna je verjetnost, da je na slepo izbrani prebivalec tega mesta okužen z virusom gripe?

$P(A)={\frac {822}{6850}}\!\,.$

Rezultat se po navadi še okrajša, ali pa se ga zapiše v decimalni obliki ali v obliki procentov:

$P(A)={\frac {822}{6850}}={\frac {3}{25}}=0.12=12\ \%\!\,.$

Definicija s teorijo mere – Geometrijska verjetnost

V danem verjetnostnem poskusu naj je definirana mera, s katero se meri obsežnost dogodkov. Verjetnost dogodka $A$ je potem razmerje med mero dogodka $A$ in mero celotne množice vseh možnih izidov.

To definicijo se uporablja zlasti, kadar se ima opravka z dogodki, ki imajo neskončno mnogo izidov, in zato računanje verjetnosti po klasični definiciji ni možno.

Zgled:

• Poskus naj bo izbiranje naključnega realnega števila z intervala $[10,20]$
• $A$ je dogodek, da je izbrano število večje od 17.5.
• Za mero se seveda vzame kar širino intervala.
• Verjetnost dogodka $A$ je potem enaka:

$P(A)={\frac {2,5}{10}}={\frac {1}{4}}=25\ \%\!\,.$

Statistična definicija

Za statistično obdelavo je treba poskus ponoviti zelo velikokrat. Pri tem se računa kolikokrat se dogodek $A$ zgodi (to je frekvenca dogodka $A$). Verjetnost dogodka $A$ je število, h kateremu konvergira relativna frekvenca dogodka $A$, ko se število ponovitev poskusa veča proti neskončno.

Značilnosti verjetnosti

Za dodatno razlago glej tudi: dogodek.

Verjetnost poljubnega dogodka je vedno večja ali enaka 0 in vedno manjša ali enaka 1:

$P(A)\in [0,1]\!\,.$

Verjetnost dogodka $A$ in verjetnost nasprotnega dogodka ${\overline {A}}$ imata vsoto 1:

$P(A)+P({\overline {A}})=1\!\,.$

Verjetnost unije nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti obeh verjetnosti:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)\!\,.$

Verjetnost unije dveh poljubnih dogodkov se lahko izračuna po formuli:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\!\,.$

Verjetnost preseka (produkta) neodvisnih dogodkov je enaka produktu obeh verjetnosti:

$P(AB)=P(A)P(B)\!\,.$

Verjetnost preseka (produkta) odvisnih dogodkov se lahko izračuna po formuli:

$P(AB)=P(A)P(B/A)\!\,.$

V zadnji formuli $P(B/A)$ pomeni pogojno verjetnost za dogodek $B$ pri pogoju, da se je pred tem že zgodil dogodek $A$. Dogodka sta odvisna, če dejstvo, da se je dogodek $A$ že zgodil, vpliva na verjetnost dogodka $B$. Če dogodek $A$ ne vpliva na dogodek $B$, potem sta neodvisna.

Glej tudi

• verjetnostni račun
• dogodek