Pogojna verjetnost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Pogojna verjetnost je verjetnost, da se zgodi dogodek , pod pogojem, da se je zgodil neki drugi dogodek . Takšno verjetnost označimo s . Pogojno verjetnost lahko določimo za nezvezne (diskretne) in zvezne slučajne spremenljivke.

Vennov diagram, ki prikazuje presek dveh množic.

Dva dogodka[uredi | uredi kodo]

Za dva dogodka dobimo pogojno verjetnost po obrazcu:

,

kjer je

  • z oznako je označeno pojavljanje dogodka in dogodka (presek dogodkov in ).

Za presek dogodkov uporabljamo tudi izraz produkt dogodkov. Verjetnost produkta dogodkov označimo tudi s . V tem primeru za pogojno verjetnost lahko zapišemo .

Kadar je enako nič, je verjetnost nedefinirana (glej Borel-Kolmogorov paradoks).

Velja tudi

.

Večje število dogodkov[uredi | uredi kodo]

Zgornji izraz lahko napišemo kot

oziroma posplošimo na tri dogodke

.

Za poljubno število dogodkov pa to napišemo kot

Neodvisni in nezdružljivi dogodki[uredi | uredi kodo]

Dva dogodka in sta neodvisna, če zanju velja

in .

To pomeni, da je za neodvisne dogodke je pogojna verjetnost enaka verjetnosti posameznih dogodkov.

Za neodvisne dogodke velja tudi

oziroma

kjer je z označena negacija dogodka (dogodek se ne zgodi).

Povsem enostavno je posplošiti zgornje izraze na večje število dogodkov.

Za verjetnost produkta neodvisnih dogodkov velja tudi

.

Kadar pa sta dogodka nezdružljiva velja

.

Bayesov obrazec[uredi | uredi kodo]

Povezavo med verjetnostjo in nam daje Bayesov obrazec (izrek o verjetnosti hipotez).

.

Zvezne spremenljivke[uredi | uredi kodo]

Podobno definiramo pogojno verjetnost za zvezne spremenljivke.

kjer je

Za katerikoli dogodek B velja tudi

.

Verjetnost je pogojna verjetnost za dogodek B, če se je zgodil dogodek A.