Hiperbolična porazdelitev

Hiperbolična porazdelitev
oznaka	$\textrm{H}(\mu, \alpha, \beta, \delta, \gamma) \!$
parametri	$\mu \!$ parameter lokacije (realno število) $\alpha \!$ (realno število) $\beta \!$ parameter asimetrije (realno število) $\delta \!$ parameter merila (realno število) $\gamma = \sqrt{\alpha^2 - \beta^2}$
interval	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{\gamma}{2\alpha\delta K_1(\delta \gamma)} \; e^{-\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}+ \beta (x - \mu)}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$\frac{\gamma}{2\alpha\delta K_1(\delta \gamma)} \; e^{-\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}+ \beta (x - \mu)}$
pričakovana vrednost	$\mu + \frac{\delta \beta K_{2}(\delta \gamma)}{\gamma K_1(\delta\gamma)}$
mediana
modus	$\mu + \frac{\delta\beta}{\gamma}$
varianca	$\frac{\delta K_{2}(\delta \gamma)}{\gamma K_1(\delta\gamma)} + \frac{\beta^2\delta^2}{\gamma^2}\left(\frac{K_{3}(\delta\gamma)}{K_{1}(\delta\gamma)} -\frac{K_{2}^2(\delta\gamma)}{K_{1}^2(\delta\gamma)} \right)$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\frac{e^{\mu z}\gamma K_1(\delta (\alpha^2 -(\beta +z)^2))}{(\alpha^2 -(\beta +z)^2)K_1 (\delta \gamma)}$
karakteristična funkcija	$\frac{e^{\mu z}\gamma K_1(\delta (\alpha^2 -(\beta +z)^2))}{(\alpha^2 -(\beta +z)^2)K_1 (\delta \gamma)}$

Hiperbolična porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena s petimi parametri. Ta vrsta porazdelitev je značilna po tem, da je logaritem funkcije gostote verjetnosti hiperbola. To pomeni, da porazdelitev pada hitreje kot pri normalni porazdelitvi. Za uporabo je primernejša takrat, ko delamo z velikimi vrednostmi, ki so mnogo mnogo bolj verjetne kot pri normalni porazdelitvi.

Začetnik uporabe hiperbolične porazdelitve je britanski brigadir Ralph Alger Bagnold (1896 – 1990), ki jo je opisal v letu 1941. Ugotovil je, da je logaritem velikosti zrnc peska, ki ga je nanesel veter, podoben hiperboli.

Hiperbolična porazdelitev je posebna oblika splošne hiperbolične porazdelitve, ki pa ima šest parametrov.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

$\frac{\gamma}{2\alpha\delta K_1(\delta \gamma)} \; e^{-\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}+ \beta (x - \mu)}$

kjer je

• $K_\lambda \!$ modificirana Besslova funkcija druge vrste

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$\frac{\gamma}{2\alpha\delta K_1(\delta \gamma)} \; e^{-\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}+ \beta (x - \mu)}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\mu + \frac{\delta \beta K_{2}(\delta \gamma)}{\gamma K_1(\delta\gamma)}$.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{\delta K_{2}(\delta \gamma)}{\gamma K_1(\delta\gamma)} + \frac{\beta^2\delta^2}{\gamma^2}\left(\frac{K_{3}(\delta\gamma)}{K_{1}(\delta\gamma)} -\frac{K_{2}^2(\delta\gamma)}{K_{1}^2(\delta\gamma)} \right)$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$\frac{e^{\mu z}\gamma K_1(\delta (\alpha^2 -(\beta +z)^2))}{(\alpha^2 -(\beta +z)^2)K_1 (\delta \gamma)}$.

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$\frac{e^{\mu z}\gamma K_1(\delta (\alpha^2 -(\beta +z)^2))}{(\alpha^2 -(\beta +z)^2)K_1 (\delta \gamma)}$.

Zunanje povezave

• Simulacija hiperbolične porazdelitve (v angleščini)
• Opis hiperboličnih porazdelitev (v angleščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev