Splošna hiperbolična porazdelitev

Splošna hiperbolična porazdelitev
oznaka	$\textrm{GH}(\mu, \lambda, \alpha, \beta, \delta, \gamma) \!$
parametri	$\mu \!$ parameter lokacije (realno število ) $\lambda\!$ (realno število) $\alpha\!$ (realno število) $\beta \!$ parameter asimetrije (realno število) $\delta \!$ parameter merila (realno število) $\gamma = \sqrt{\alpha^2 - \beta^2}\!$
interval	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{(\gamma/\delta)^\lambda}{\sqrt{2\pi}K_\lambda(\delta \gamma)} \; e^{\beta (x - \mu)} \!$ $\times \frac{K_{\lambda - 1/2}\left(\alpha \sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}\right)}{\left(\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2} / \alpha\right)^{1/2 - \lambda}} \!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
pričakovana vrednost	$\mu + \frac{\delta \beta K_{\lambda+1}(\delta \gamma)}{\gamma K_\lambda(\delta\gamma)}$
mediana
modus
varianca	$\frac{\delta K_{\lambda+1}(\delta \gamma)}{\gamma K_\lambda(\delta\gamma)} + \frac{\beta^2\delta^2}{\gamma^2}\left( \frac{K_{\lambda+2}(\delta\gamma)}{K_{\lambda}(\delta\gamma)} - \frac{K_{\lambda+1}^2(\delta\gamma)}{K_{\lambda}^2(\delta\gamma)} \right)$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\frac{e^{\mu z}\gamma^\lambda}{(\sqrt{\alpha^2 -(\beta +z)^2})^\lambda} \frac{K_\lambda(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta +z)^2})}{K_\lambda (\delta \gamma)}$
karakteristična funkcija

Splošna hiperbolična porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki jo določa šest parametrov.

Porazdelitev je posplošitev cele vrste porazdelitev kot so študentova t porazdelitev, Laplaceova porazdelitev, hiperbolična porazdelitev, normalna inverzna Gaussova porazdelitev in variančna gama porazdelitev.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

$\frac{(\gamma/\delta)^\lambda}{\sqrt{2\pi}K_\lambda(\delta \gamma)} \; e^{\beta (x - \mu)} \!$
$\times \frac{K_{\lambda - 1/2}\left(\alpha \sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}\right)}{\left(\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2} / \alpha\right)^{1/2 - \lambda}} \!$

kjer je

• $K_\lambda \!$ modificirana Besslova funkcija druge vrste

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{\delta K_{\lambda+1}(\delta \gamma)}{\gamma K_\lambda(\delta\gamma)} + \frac{\beta^2\delta^2}{\gamma^2}\left( \frac{K_{\lambda+2}(\delta\gamma)}{K_{\lambda}(\delta\gamma)} - \frac{K_{\lambda+1}^2(\delta\gamma)}{K_{\lambda}^2(\delta\gamma)} \right)$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$\frac{e^{\mu z}\gamma^\lambda}{(\sqrt{\alpha^2 -(\beta +z)^2})^\lambda} \frac{K_\lambda(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta +z)^2})}{K_\lambda (\delta \gamma)}$.

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev