Vztrajnostni moment

Skakalki v vodo zmanjšata svoj vztrajnostni moment, da bi povečali hitrost vrtenja

Másni vztrájnostni momênt je skalarna fizikalna količina, določena kot sorazmernostni koeficient med navorom in kotnim pospeškom pri vrtenju togega telesa okrog nepremične osi. Vztrajnostni moment je pri krožnem gibanju ekvivalent mase pri translaciji. Količina nastopa v drugem Newtonovem zakonu in enačbi za gibalno količino za vrtenje in v enačbi za vrtilno kinetično energijo, kjer navor, kotna hitrost in kotni pospešek zamenjajo silo, hitrost in pospešek.

Vztrajnostni moment v slovenski literaturi po navadi zapišemo s črko J, v tujejezični pa s črko I. Ločimo tudi vztrájnostni momênt plòskve, tega pa zapišemo s črko I.

Masni vztrajnostni moment[uredi | uredi kodo]

Vztrajnostni moment (tudi masni vztrajnostni moment, za razliko od vztrajnostnega momenta ploskve) telesa je odvisen od njegove oblike in porazdelitve mase znotraj te oblike: več mase leži stran od osi vrtenja, večji je vztrajnostni moment. Za dano maso m in polmer r imamo glede na povečanje vztrajnostnega momenta togo kroglo in valj, ter votlo kroglo in valj cmr², s c = 2/5, 1/2, 2/3 in 1. Splošno enačbo za vztrajnostni moment zapišemo z integralom.

Vztrajnostni moment točkastega telesa z maso m, ki kroži po krožnici s polmerom r, je enak:

J=mr^{2}\!\,.

Togo telo si lahko predstavljamo kot neskončno število neskončno majhnih delcev, ki ima vsak maso $m_{i}$ . Če je vsak del delec na razdalji $r_{i}$ od določene osi vrtenja, je vztrajnostni moment trdnega telesa okoli te osi dan z:

J=\sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}\!\,.

Zvezna porazdelitev mase zahteva neskončno vsoto vseh masnih točk. To dosežemo z integriranjem vseh mas $\mathrm {d} m$ v trorazsežnem prostoru:

J=\int r_{\perp }^{2}\,\mathrm {d} m\!\,.

$\mathrm {d} m$ je določena s prostorsko porazdelitvijo gostote ρ:

\mathrm {d} m=\rho \,\mathrm {d} V\!\,.

Telesa so pri tem homogena, gostota je tako po vsem telesu konstantna.

Vztrajnostni momenti so aditivni.

Vztrajnostni moment ploskve[uredi | uredi kodo]

Aksialni vztrajnostni moment ploskve je vsota elementarnih ploščin in kvadratov razdalj njihovih težišč od izbrane osi, npr. od osi x ali y:

I_{x}=\int y^{2}\,\mathrm {d} S\;;\qquad \qquad I_{y}=\int x^{2}\,\mathrm {d} S\!\,.

Vztrajnostni moment ploskve je vedno pozitiven.

Masni vztrajnostni momenti nekaterih preprostih teles[uredi | uredi kodo]

ponazoritev	enačba/vrednost	zgledi
	točkasto telo pri vrtenju okrog lastne osi (telesna os) $0\!\,$
	točkasto telo pri kroženju (zunanja os x) $J_{x}=mr^{2}\!\,$	nitno nihalo
	plašč valja (simetrijska os) $J_{z}=mr^{2}\!\,$
	(pravokotna os na sredi) $J_{x}=J_{y}={1 \over 2}mr^{2}+{1 \over 12}mh^{2}\!\,$
	valj (simetrijska os) $J_{z}={1 \over 2}mr^{2}\!\,$
	valj (tvorilkina os ζ) $J_{\zeta }={3 \over 2}mr^{2}\!\,$
	(pravokotna os na sredi) $J_{x}=J_{y}={1 \over 4}mr^{2}+{1 \over 12}mh^{2}\!\,$
	(poljubna os pod kotom φ) $J_{\varphi }={1 \over 12}m\left[3r^{2}(1+\cos ^{2}\varphi )+h^{2}\sin ^{2}\varphi \right]\!\,$
	votel valj (simetrijska os) $J_{z}={1 \over 2}m(R^{2}+r^{2})\!\,$
	tanka palica (pravokotna os na sredi) $J_{x}=J_{y}={1 \over 12}ml^{2}\!\,$
	tanka palica (pravokotna os skozi krajišče) $J_{K}={1 \over 3}ml^{2}\!\,$
	kvadratna piramida (simetrijska os) $J_{z}={1 \over 10}ma^{2}\!\,$
	kvadratna piramida (pravokotna os skozi težišče) $J_{x}=J_{y}={1 \over 20}m\left[a^{2}+{3 \over 4}h^{2}\right]\!\,$
	plašč stožca (simetrijska os) $J_{z}={1 \over 2}mr^{2}\!\,$
	stožec (simetrijska os) $J_{z}={3 \over 10}mr^{2}\!\,$
	stožec (pravokotna os skozi težišče) $J_{x}=J_{y}={3 \over 20}m\left[r^{2}+{1 \over 4}h^{2}\right]\!\,$
	krogelna lupina (tanke stene) (simetrijska os) $J_{z}=J_{x}=J_{y}={2 \over 3}mr^{2}\!\,$
	krogla (simetrijska os) $J_{z}=J_{x}=J_{y}={2 \over 5}mr^{2}\!\,$
	votla krogla (simetrijska os) $J_{z}=J_{x}=J_{y}={2 \over 5}m{{R^{5}-r^{5}} \over {R^{3}-r^{3}}}\!\,$
	svitek (simetrijska os) $J_{z}=m\left[R^{2}+{3 \over 4}r^{2}\right]\!\,$
	svitek (pravokotna os skozi težišče) $J_{x}=J_{y}={1 \over 8}m\left(4R^{2}+5r^{2}\right)\!\,$
	eliptični svitek (simetrijska os)
	eliptični svitek (pravokotna os skozi težišče)
	kocka (simetrijska os) $J_{z}=J_{x}=J_{y}={1 \over 6}ma^{2}\!\,$
	kvader $J_{z}={1 \over 12}m(a^{2}+b^{2})\!\,$
	$J_{x}={1 \over 12}ma^{2}\!\,$
	sploščen rotacijski elipsoid (sploščen sferoid) (a = r, b = c = r(1 + ε) a > c) (polarna os) $J_{z}={2 \over 5}mr^{2}(1+\varepsilon )^{2}\!\,$	vrtenje Zemlje, planeta, nevtronske zvezde
	sploščen rotacijski elipsoid (sploščen sferoid) (a < c) (ekvatorski osi) raztegnjen rotacijski elipsoid (raztegnjen sferoid) (glavna os) $J_{x}=J_{y}={1 \over 5}mr^{2}(1+(1+\varepsilon )^{2})\!\,$
	elipsoid (glavna os) $J_{x}={1 \over 5}m\left(b^{2}+c^{2}\right)\!\,$ elipsoid (y-os) $J_{y}={1 \over 5}m\left(a^{2}+c^{2}\right)\!\,$ elipsoid (z-os) $J_{z}={1 \over 5}m\left(a^{2}+b^{2}\right)\!\,$	dinamični model gibanja jedra Halleyjevega kometa