Cauchy–Schwarzova neenakost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

V matematiki je Cauchy–Schwarzova neenakost, znana tudi kot Cauchy–Bunyakovsky–Schwarzova neenakost, uporabna neenakost, ki se jo uporablja na raznih področjih, kot so linearna algebra, analiza, verjetnostni račun, vektorska algebra in ostala področja. Velja za eno izmed najbolj pomembnih neenakosti v vsej matematiki.[1]

Neenakost za vsote je objavil Augustin-Louis Cauchy (1821), medtem ko je pripadajočo neenakost za integrale prvič dokazal Viktor Bunyakovsky (1859). Kasneje je integralno neenakost ponovno odkril Hermann Amandus Schwarz (1888).[1]

Neenakost[uredi | uredi kodo]

Cauchy–Schwarzova neenakost pravi, da za vse vektorje in v prehilbertovem prostoru velja

kjer je notranji produkt. Primeri notranjega produkta so realni in kompleksni skalarni produkt; glej primere notranjega produkta. Ekvivalentno, če vzamemo kvadratne korene na obeh straneh in se sklicujemo na norme vektorjev, se neenakost lahko zapiše tudi kot:[2][3]

Dve strani sta enaki, če in samo če sta in linearno odvisna (kar pomeni, da sta vzporedna: ena velikost vektorja je nič ali pa je eden vektor skalarni večkratnik drugega).[4][5]

Če in in če je notranji produkt standardni kompleksni notranji produkt, potem se lahko neenakost preurediti še bolj eksplicitno, kot sledi (kjer se zapis s črto uporablja za kompleksno konjugacijo):

ali

Dokazi[uredi | uredi kodo]

Prvi dokaz[uredi | uredi kodo]

Naj bosta in arbitrarna vektorja v vektorskem prostoru nad z notranjim produktom, kjer je polje realnih ali kompleksnih števil. Dokazati je treba neenakost

in ta neenakost drži če in samo če je ali večkratnik drugega (kar vsebuje poseben primer, da ima eden izmed vektorjev dolžino 0).

Če je , je jasno razvidno, da postane to enakost in v tem primeru sta in tudi linearno odvisni, ne glede na , torej izrek drži. Podobno velja tudi, če je . Sedaj predpostavimo, da je neničelen.

Naj bo

Torej je po linearnosti notranjega produkta v prvem argumentu, torej je

Torej je vektor ortogonalen na vektor (Seveda je projekcija od na ravnino, ki je ortogonalna na .) Tukaj lahko uporabimo Pitagorov izrek

kar nam da

in po množenju z in odvzemom kvadratnega korena dobimo Cauchy-Schwarzovo neenakost. Še več, če je relacija v zgornjem izrazu v bistvu enakost, potem je in torej je ; definicija od torej oblikuje relacijo linearne odvisnosti med in . A če sta in linearno odvisna, potem obstaja tak , da velja (). Torej

To oblikuje izrek.

Drugi izrek[uredi | uredi kodo]

Naj bosta in arbitrarna vektorja notranjega produkta nad .

V posebnem primeru, če je , je izrek trivialno pravilen. Sedaj predpostavimo, da je . Naj je podana kot . Iz tega sledi

Torej je ali .

Če namesto neenakosti velja enakost, potem je in torej , tako da sta in linearno odvisna. A če sta in linearno odvisna, potem je , kot je bilo že pokazano v prvem primeru.

Več dokazov[uredi | uredi kodo]

Obstaja še veliko različnih dokazov[6] Cauchy–Schwarzove neenakost, ki so še drugačni kot zgornja dva primera.[1][3] ko pregledamo ostale vire, sta pogosto prisotna dva vira nesoglasij. Kot prvo, nekateri avtorji definirajo, da je ⟨⋅,⋅⟩ linearen v drugem argumentu, raje kot v prvem. Kot drugo, pa so nekateri dokazi veljavni le takrat, ko je to polje nad in ne nad .[7]

Posebni primeri[uredi | uredi kodo]

Titujeva lema[uredi | uredi kodo]

Titujeva lema (poimenovana po matematiku Titu Andreescu, znana tudi kot T2 lema, Englova oblika ali Sedrakyanova neenakost) nam pravi, da za pozitivna realna števila velja

Kar je neposredna posledica Cauchy–Schwarzove neenakosti, ki jo dobimo s substitucijo in Ta oblika je posebej priročna, ko neenakost vsebuje ulomke, kjer je števec popolni kvadrat.

R2 (navaden dvodimenzionalni prostor[uredi | uredi kodo]

V navadnem 2-dimenzionalnem prostoru s skalarnim produktom, naj bosta in . Cauchy–Schwarzova neenakost je potem

kjer je kot med in

Zgornja oblika je najverjetneje najlažja in najbolj razumljiva neenakost, ker je kvadrat kosinusa lahko največ 1, ko sta vektorja obrnjena v isto ali obratno smer. Lahko se jo tudi preuredi na osnovi vektorskih koordinat in , kot sledi

kjer velja enakost če in samo če je vektor v enaki ali obratni smeri kot vektor ali če je eden izmed obeh vektorjev enak 0.

Rn (n-dimenzionalni Evklidski prostor)[uredi | uredi kodo]

V Evklidskem prostoru s standardnim notranjim produktom, je Cauchy-Schwarzova neenakost enaka

Cauchy–Schwarzova neenakost se lahko v tem primeru dokaže z uporabo samo idej iz elementarne algebre. Poglej recimo sledeči kvadratni polinom v

Ker je nenegativen, ima lahko največ en realni koren za , od tod je njegova diskriminanta manjša ali enaka nič. Torej

kar vodi v Cauchy–Schwarzovo neenakost.

L2[uredi | uredi kodo]

Za prostor notranjega produkta kvadratno integrabilne funkcije s kompleksno vrednostjo velja

Posplošitev tega je Hölderjeva neenakost.

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Analiza[uredi | uredi kodo]

Kot posledica Cauchy-Schwarzove neenakost se včasih obravnava tudi trikotniško neenakost, kot sledi: če imamo podana vektorja x in y:

Če vzamemo kvadratne korene iz obeh strani, potem dobimo trikotniško neenakost.

Cauchy-Schwarzova neenakost se tudi uporablja za dokazovanje, da je notranji produkt zvezna funkcija glede na topologijo, ki je inducirana s samim notranjim produktom.[8][9]

Geometrija[uredi | uredi kodo]

Cauchy–Schwarzova neenakost dovoli razširitev pojma "kota med dvema vektorjema" do kateregakoli realnega prostora notranjega produkta z definiranjem:[10][11]

Cauchy–Schwarzova neenakost dokaže, da je ta definicija občutljiva s tem, da pokaže, da desna stran leži na intervalu [−1, 1] in upravičuje, da so (realni) Hilbertovi prostori samo posplošitve Evklidkega prostora. Lahko se tudi uporablja za definiranje kota v kompleksnih prehilbertovih prostorih, namreč z odvzemom absolutne vrednosti ali realnega dela na desni strani,[12][13] kot se to naredi s pridobivanjem meritev iz kvantne zvestobe.

Verjetnostni račun[uredi | uredi kodo]

Naj bosta X, Y slučajni spremenljivki. Potem je kovariantna neenakost[14][15] podana z

Po definiranju notranjega produkta na množici slučajnih spremenljivk z uporabo predvidevanja njihovega produkta

postane Cauchy–Schwarzova neenakost

Da dokažemo kovariantno neenakost z uporabo Cauchy–Schwarzove neenakosti, naj bosta in . Iz tega sledi

kjer označuje varianco in označuje kovarianco.

Posplošitve[uredi | uredi kodo]

Obstajajo različne posplošitve Cauchy–Schwarzove neenakosti. Hölderjeva neenakost jo posploši do norme . Še bolj splošno se jo lahko opredeli kot poseben primer definicije norme linearnega operatorja na Banachovem prostoru (Namreč, ko je prostor Hilbertov prostor). Nadaljnje posplošitve izvirajo iz področja teorije operatorjev, tj. za operatorsko-konveksne funkcije in algebro operatorjev, kjer je domena in/ali razpon zamenjan z algebro C* ali algebro W*.

Notranji produkt se lahko uporabi tudi pri dokazovanju pozitivnega linearnega funkcionala. Na primer za podan Hilbertov prostor , naj bo končna mera, ki jo standardni notranji produkt poda k pozitivnemu funkcionalu z . Obratno se lahko vsak pozitivni linearni funkcional na uporabi za definiranje notranjega produkta , kjer je točkovni kompleksni konjugat od . V tem jeziku torej Cauchy-Schwarzova neenakost postane[16]

kar se dobesedno razširi na pozitivne funkcionale na algebrah C*:

Izrek (Cauchy–Schwarzova neenakost za pozitivne funkcionale na algebrah C*):[17][18] Če je pozitivni linearni funkcional na algebri C* potem za vse velja .

naslednja dva izreka sta nadaljnja primera algebre operatorjev.

Izrek (Kadison–Schwarzova neenakost,[19][20] poimenovana po Richardu Kadisonu): Če je enotska pozitivna preslikava, potem za vsak normalni element v njeni domedni dobimo in .

To razširi dejstvo, da , ko je linearni funkcional. Primer, ko je sama sebi sosed, tj. je znan tudi kot Kadisonova neenakost.

Izrek (Spremenjena Schwarzova neenakost za 2-pozitivni preslikavi):[21] Za 2-pozitivni preslikavi med algebrami C* ter za vse v njeni domeni:

Sledeča posplošitev pa je izpopolnitev, ki se jo da dobiti z interpolacijo med obema stranema Cauchy-Schwarzove neenakosti:

Izrek (Callebautova neenakost)[22] Za realna števila ,

Neenakost se lahko enostavno dokaže z uporabo Hölderjeve neenakosti.[23] Obstajajo pa tudi ne-komutativne verzije operatorjev in tenzorskih produktov matrik.[24]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. 1,0 1,1 1,2 Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. str. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.
  2. Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (4th izd.). Stamford, CT: Cengage Learning. str. 154–155. ISBN 978-0030105678.
  3. 3,0 3,1 Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
  4. Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. str. 14. ISBN 9781461205050.
  5. Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. str. 29. ISBN 0-387-98579-4. Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.
  6. Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (April 2009). "Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality" (PDF). Octogon Mathematical Magazine. Vol. 17 no. 1. str. 221–229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657. Pridobljeno dne 18 May 2016.
  7. Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007-05-02). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960.
  8. Bachman, George; Narici, Lawrence (2012-09-26). Functional Analysis. Courier Corporation. str. 141. ISBN 9780486136554.
  9. Swartz, Charles (1994-02-21). Measure, Integration and Function Spaces. World Scientific. str. 236. ISBN 9789814502511.
  10. Ricardo, Henry (2009-10-21). A Modern Introduction to Linear Algebra. CRC Press. str. 18. ISBN 9781439894613.
  11. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014-06-06). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. CRC Press. str. 181. ISBN 9781482248241.
  12. Valenza, Robert J. (2012-12-06). Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Springer Science & Business Media. str. 146. ISBN 9781461209010.
  13. Constantin, Adrian (2016-05-21). Fourier Analysis with Applications. Cambridge University Press. str. 74. ISBN 9781107044104.
  14. Mukhopadhyay, Nitis (2000-03-22). Probability and Statistical Inference. CRC Press. str. 150. ISBN 9780824703790.
  15. Keener, Robert W. (2010-09-08). Theoretical Statistics: Topics for a Core Course. Springer Science & Business Media. str. 71. ISBN 9780387938394.
  16. Faria, Edson de; Melo, Welington de (2010-08-12). Mathematical Aspects of Quantum Field Theory. Cambridge University Press. str. 273. ISBN 9781139489805.
  17. Lin, Huaxin (2001-01-01). An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras. World Scientific. str. 27. ISBN 9789812799883.
  18. Arveson, W. (2012-12-06). An Invitation to C*-Algebras. Springer Science & Business Media. str. 28. ISBN 9781461263715.
  19. Størmer, Erling (2012-12-13). Positive Linear Maps of Operator Algebras. Springer Monographs in Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698.
  20. Kadison, Richard V. (1952-01-01). "A Generalized Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras". Annals of Mathematics. Vol. 56. str. 494–503. doi:10.2307/1969657. JSTOR 1969657.
  21. Paulsen, Vern (2002). Completely Bounded Maps and Operator Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 78. Cambridge University Press. str. 40. ISBN 9780521816694.
  22. Callebaut, D.K. (1965). "Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality". J. Math. Anal. Appl. Vol. 12 no. 3. str. 491–494. doi:10.1016/0022-247X(65)90016-8.
  23. Callebaut's inequality. Entry in the AoPS Wiki.
  24. Moslehian, M.S.; Matharu, J.S.; Aujla, J.S. "Non-commutative Callebaut inequality". arXiv:1112.3003 [math.FA].

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]