Splošna normalna porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Splošna normalna porazdelitev (1. oblika)
Funkcija gostote verjetnosti za splošno normalno porazdelitev 1. oblike
Zbirna funcija verjetnosti za splošno normalno porazdelitev 1. oblike.
oznaka
parametri  \mu \, parameter lokacije (realno število)
 \alpha \, parameter merila (pozitiven)
 \beta \, parameter oblike (pozitiven)
interval x \in (-\infty; +\infty)\!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{\beta}{2\alpha\Gamma(1/\beta)} \; e^{-(|x-\mu|/\alpha)^\beta}

\Gamma \! označuje funkcijo gama
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
\frac{1}{2} + \sgn(x-\mu)\frac{\gamma\left(1/\beta, \left( \frac{|x-\mu|}{\alpha} \right)^\beta\right)}{2\Gamma(1/\beta)}

\gamma \! pomeni spodnjo nepopolno funkcijo gama

pričakovana vrednost  \mu \,
mediana  \mu \,
modus  \mu \,
varianca \frac{\alpha^2\Gamma(3/\beta)}{\Gamma(1/\beta)}
simetrija 0 \!
sploščenost \frac{\Gamma(5/\beta)\Gamma(1/\beta)}{\Gamma(3/\beta)^2}-3
entropija \frac{1}{\beta}-\log\left[\frac{\beta}{2\alpha\Gamma(1/\beta)}\right] [1]
funkcija generiranja momentov
(mgf)
karakteristična funkcija

Splošna normalna porazdelitev (tudi splošna Gaussova porazdelitev) je katerakoli porazdelitev izmed dveh zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki se od normalne porazdelitve razlikujta v tem, da vsebujeta še parameter oblike (normalna porazdelitev ga ne vsebuje). Splošna normalna porazdelitev nastopa v dveh oblikah, ki ju označujemo kot 1. oblika in 2. oblika

Lastnosti porazdelitve splošne normalne porazdelitve 1. oblike[uredi | uredi kodo]

Splošna normalna porazdelitev 1. oblike je znana tudi kot potenčna porazdelitev ali splošna porazdelitev napak. Vključuje vse oblike normalne porazdelitve in Laplaceovih porazdelitev. Kot skrajni primer pa vključuje tudi vse zvezne enakomerne porazdelitve.

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za splošno normalno porazdelitev 1. oblike je

\frac{\beta}{2\alpha\Gamma(1/\beta)} \; e^{-(|x-\mu|/\alpha)^\beta}

\Gamma

kjer je

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

\frac{1}{2} + \sgn(x-\mu)\frac{\gamma\left(1/\beta, \left( \frac{|x-\mu|}{\alpha} \right)^\beta\right)}{2\Gamma(1/\beta)}

kjer je

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je

 \mu \,.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je

\frac{\alpha^2\Gamma(3/\beta)}{\Gamma(1/\beta)}.

kjer je

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

\frac{\Gamma(5/\beta)\Gamma(1/\beta)}{\Gamma(3/\beta)^2}-3

kjer je

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Lastnosti splošne normalne porazdelitve 2. oblike[uredi | uredi kodo]

Splošna normalna porazdelitev (2. oblika)
Funkcija gostote verjetnosti za splošno normalno porazdelitev 2. oblike
Zbirna funcija verjetnosti za splošno normalno porazdelitev 2. oblike.
oznaka
parametri  \xi \! parameter lokacije (realno število)
 \alpha \, parameter merila (pozitivno realno število)
 \kappa \, parameter oblike (realno število)
interval x \in (-\infty,\xi+\alpha/\kappa) \text{ kadar je } \kappa>0
x \in (-\infty,\infty) \text{ kadar je } \kappa=0
x \in (\xi+\alpha/\kappa; +\infty) \text{ kadar je } \kappa<0
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
 \frac{\Phi(y)}{\alpha-\kappa(x-\xi)}, kjer je
y = \begin{cases} - \frac{1}{\kappa} \log \left[ 1- \frac{\kappa(x-\xi)}{\alpha} \right] & \text{ kadar je } \kappa \neq 0 \\ \frac{x-\xi}{\alpha} & \text{ kadar je } \kappa=0 \end{cases}
\Phi \! je standardna funkcija gostote verjetnosti za normalno porazdelitev
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
 \Phi(y) \!, kjer je
 y = \begin{cases} - \frac{1}{\kappa} \log \left[ 1- \frac{\kappa(x-\xi)}{\alpha} \right] & \text{ kadar je } \kappa \neq 0 \\ \frac{x-\xi}{\alpha} & \text{ kadar je } \kappa=0 \end{cases}
\Phi \! je standardna zbirna funkcija verjetnosti za normalno porazdelitev
pričakovana vrednost \xi - \frac{\alpha}{\kappa} \left( e^{\kappa^2/2} - 1 \right)
mediana \xi  \,
modus
varianca \frac{\alpha^2}{\kappa^2} e^{\kappa^2} \left( e^{\kappa^2} - 1 \right)
simetrija \frac{3 e^{\kappa^2} - e^{3 \kappa^2} - 2}{(e^{\kappa^2} - 1)^{3/2}} \text{ sign}(\kappa)
sploščenost e^{4 \kappa^2} + 2 e^{3 \kappa^2} + 3 e^{2 \kappa^2} - 6
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
karakteristična funkcija

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za splošno normalno porazdelitev 1. oblike je

 \frac{\phi(y)}{\alpha-\kappa(x-\xi)}, kjer je
y = \begin{cases} - \frac{1}{\kappa} \log \left[ 1- \frac{\kappa(x-\xi)}{\alpha} \right] & \text{ kadar je } \kappa \neq 0 \\ \frac{x-\xi}{\alpha} & \text{ kadar je } \kappa=0 \end{cases}
\phi \! je standardna funkcija gostote verjetnosti za normalno porazdelitev

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

 \Phi(y) \!, kjer je
 y = \begin{cases} - \frac{1}{\kappa} \log \left[ 1- \frac{\kappa(x-\xi)}{\alpha} \right] & \text{ kadar je } \kappa \neq 0 \\ \frac{x-\xi}{\alpha} & \text{ kadar je } \kappa=0 \end{cases}
\Phi \! je standardna zbirna funkcija verjetnosti za normalno porazdelitev

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je

\xi - \frac{\alpha}{\kappa} \left( e^{\kappa^2/2} - 1 \right).

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je

\frac{\alpha^2}{\kappa^2} e^{\kappa^2} \left( e^{\kappa^2} - 1 \right)

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

e^{4 \kappa^2} + 2 e^{3 \kappa^2} + 3 e^{2 \kappa^2} - 6

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Nadarajah, Saralees (September 2005). "A generalized normal distribution". Journal of Applied Statistics 32 (7): 685–694. doi:10.1080/02664760500079464.  |accessdate= zahteva |url= (pomoč)

Glej tudi[uredi | uredi kodo]