Porazdelitev hi

Porazdelitev hi
Funkcija gostote verjetnosti za hi porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi porazdelitev.
oznaka	$\chi(k) \!$ ali $Chi(k) \!$
parameter	$k>0\,$ (prostostne stopnje)
interval	$x\in [0;\infty)$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^2/2}}{\Gamma(k/2)}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$P(k/2,x^2/2)\,$
pričakovana vrednost	$\mu=\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)}$
mediana
modus	$\sqrt{k-1}\,$ za $k\ge 1$
varianca	$\sigma^2=k-\mu^2\,$
simetrija	$\gamma_1=\frac{\mu}{\sigma^3}\,(1-2\sigma^2)$
sploščenost	$\frac{2}{\sigma^2}(1-\mu\sigma\gamma_1-\sigma^2)$
entropija	$\ln(\Gamma(k/2))+\,$ $\frac{1}{2}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi_0(k/2))$
funkcija generiranja momentov (mgf)	komplicirana (glej opis lastnosti)
karakteristična funkcija	komplicirana (glej opis lastnosti)

Porazdelitev hi (porazdelitev chi) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Porazdelitev hi dobimo v primeru uporabe neodvisnih komponent k-dimenzionalnega verjetnostnega vektorja, od katerih je vsaka porazdeljena po normalni porazdelitvi. Dolžine vektorjev so v tem primeru porazdeljene po hi porazdelitvi s k prostostnimi stopnjami.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je

$\frac{2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^2/2}}{\Gamma(k/2)}$

kjer je

• $\Gamma(k/2) \!$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$P(k/2,x^2/2)\,$

kjer je

• $P(k, x)\!$ regulirana funkcija gama

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\mu=\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)}$.

Varianca

Varianca je enaka

$\sigma^2=k-\mu^2\,$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

$\frac{2}{\sigma^2}(1-\mu\sigma\gamma_1-\sigma^2)$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$M(t)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2}\right)+$

$t\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)} M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2}\right)$

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$\varphi(t;k)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-t^2}{2}\right)+$

$it\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)} M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-t^2}{2}\right)$

kjer je

• $M(a,b,z)$ Kummerjeva konfluentna hipergeometrična funkcija.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• če ima slučajna spremenljivka $X \!$ porazdelitev hi, tako, da je $X \sim \chi_k(x)\!$, potem ima slučajna spremenljivka $X^2 \!$ porazdelitev hi $X^2 \sim \chi^2_k$
• Rayleighjeva porazdelitev s $\sigma=1$ ima hi porazdelitev z dvema stopnjama prostosti.
• Boltzmannova porazdelitev (Maxwellova porazdelitev) za normalizirane hitrosti molekul se podreja hi porazdelitvi s tremi prostostnimi stopnjami .
• Če ima slučajna spremenljivka $X \!$ hi porazdelitev z 1 prostostno stopnjo, potem ima σX polnormalno porazdelitev za katerokoli nenegativno vrednost σ.

Zunanje povezave

• Opis porazdelitve hi (v angleščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev