Rayleighjeva porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Rayleighjeva porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Rayleihjevo porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za Rayleighjevo porazdelitev.
oznaka Rayleigh(\sigma) \!
parametri \sigma>0\,
interval x\in [0;\infty)
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)
pričakovana vrednost \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}
mediana \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
modus \sigma\,
varianca \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2
simetrija \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}
sploščenost -\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}
entropija 1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}
funkcija generiranja momentov
(mgf)
1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)
karakteristična funkcija 1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

Rayleighjeva porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po angleškem fiziku lordu Rayleighu (1842 – 1919).

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Rayleighjevo porazdelitev ima hitrost vetra kadar komponente dvodimenzionalnega vektorja hitrosti nimajo korelacije in imajo enake variance.Pogosto se zaradi tega uporablja pri modeliranju na vetrnih elektrarnah.
Rayleighjeva porazdelitev se uporablja tudi pri opisovanju višine valov v oceanografiji [1].

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za Rayleighjevo porazdelitev je

\frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}

Funkcija ima največjo vrednost pri

  f_{max} = f(\sigma;\sigma) = \frac{1}{\sigma} \exp{-\frac{1}{2}} \approx \frac{0,606}{\sigma} .

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1,253 \sigma.

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

 \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2\  \approx 0,429 \sigma^2..

Modus[uredi | uredi kodo]

Modus je enak

\sigma \ ! .

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka

\gamma_2=-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}   \approx -0,245..

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak

\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}  \approx 0,631..

Entropija[uredi | uredi kodo]

Entropija je enaka

1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)

kjer je

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je enaka:

1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

kjer je

  • \textrm{erfi}\! kompleksna funkcija napake.

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]