Trikotno tlakovanje

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Trikotno tlakovanje
Tiling Regular 3-6 Triangular.svg
Vrsta pravilno tlakovanje
Konfiguracija oglišča 3.3.3.3.3.3 (ali 36)
Schläflijevi simboli {3,6}
3[3]
Wythoffovi simboli 6|3 2 3
3|3 3
|3 3 3
Coxeter-Dynkinovi diagrami CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
Simetrija p6m, [6,3], *632
p3m1, [3[3]], *333
p3, [3[3]]+, 333
Vrtilna simetrija p6m, [6,3]+, 632,
p3, 3[3]+, 333
Dual šestkotno tlakovanje
Lastnosti ogliščna tranzitivnost, robovna tranzitivnost, tranzitivne stranske ploskve
3.3.3.3.3.3 (ali 36)

Trikotno tlakovanje je eno izmed treh pravilnih tlakovanj na evklidski ravnini.

Uniformno barvanje[uredi | uredi kodo]

Znanih je devet različnih uniformnih barvanj. Če imenujemo barve s števili na šestih trikotnikih okoli oglišča, dobimo 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314. Štiri barvanja lahko generiramo s pomočjo Wythoffove konstrukcije. Sedem od devetih različnih barvanj lahko dobimo kot zmanjšanje barvanja s štirimi barvami: 121314. Ostali dve 111222 in 112122 pa nimata Wythoffove konstrukcije.

Indeks
barvanja
111111 121212 121314 121213
Barvanje Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 333-t1.png Uniform tiling 333-snub.png Uniform tiling 63-h12.png
Simetrija *632
(p6m)
[6,3]
*333
(p3m1)
[3[3]] = [1+,6,3]
333
(p3)
[3[3]]+
3*3
(p31m)
[6,3+]
Wythoffov simbol 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
Coxeter-Dynkin CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png = CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Indeks
barvanja
111222 112122 111112 111212 111213
Barvanje Uniform triangular tiling 111222.png Uniform triangular tiling 112122.png Uniform triangular tiling 111112.png Uniform triangular tiling 111212.png Uniform triangular tiling 111213.png
Simetrija 2*22
(cmm)
[∞,2+,∞]
2222
(p2)
[∞,2,∞]+
*333
(p3m1)
[3[3]]
*333
(p3m1)
[3[3]]
333
(p3)
[3[3]]+

Mreža A2 in pakiranje krogov[uredi | uredi kodo]

Razvrstitev oglišč trikotnega tlakovanja se imenuje mreža A2 [1]. Je dvorazsežni primer simplektičnega satovja. Mrežo A2* trikotnega tlakovanja, ki jo včasih imenujemo tudi A2 mreža.

Mrežo A2* (včasih jo imenujemo tudi A23) lahko konstruiramo iz unije treh mrež A2 in ekvivalenta mreži A2.

Oglišča trikotnega tlakovanja so središča najgostejše oblike pakiranja krožnic. Vsaka krožnica se dotika šestih drugih krožnic v pakiranju (glej dotikalno število. Gostota pakiranja je \frac{\pi}{\sqrt{12}} ali 90,69%. Ker pa je unija treh A2 mrež tudi mreža A2, je možno podati pakiranje krožnic s tremi barvami.

Voronojeva celica trikotnega tlakovanja je šestkotnik. Prav tako pa tudi Voronojeva teselacija. Šestkotno tlakovanje ima neposredno zvezo s pakiranjem krožnic.

A2 mreža pakiranja krožnic A2* mreža pakiranja krožnic
Triangular tiling circle packing.png Triangular tiling circle packing3.png]
šestkotna tlakovanja
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 333-t012.png

Sorodni poliedri in tlakovanja[uredi | uredi kodo]

Ravninska tlakovanja so povezana s poliedri. Kadar postavimo manj trikotnikov na oglišča dobimo praznimo in to nam omogoča, da jih lahko zvijemo v piramide. Ta telesa lahko razširimo na platonska telesa: pet, štirje in trije trikotniki na oglišču definirajo po vrsti ikozaeder, oktaeder in tetraeder.

Tlakovanje je topološko podobno zaporedju pravilnih poliedrov s Schläflijevim simbolom {3,n}. To se nadaljuje še v hiperbolični prostor

Uniform polyhedron-33-t2.png
{3,3}
Uniform polyhedron-43-t2.png
{3,4}
Uniform polyhedron-53-t2.png
{3,5}
Uniform polyhedron-63-t2.png
{3,6}
Uniform tiling 73-t2.png
{3,7}
Uniform tiling 83-t2.png
{3,8}
Uniform tiling 39-t0.png
{3,9}

Je pa tudi topološko povezan kot zaporedje Catalanovimi telesi z konfiguracijo stranskih ploskev Vn.6.6, ki se prav tako nadaljuje v hiperbolično ravnino.

Triakistetrahedron.jpg
V3.6.6
Tetrakishexahedron.jpg
V4.6.6
Pentakisdodecahedron.jpg
V5.6.6
Uniform polyhedron-63-t2.png
V6.6.6
Order3 heptakis heptagonal til.png
V7.6.6

Wythoffova konstrukcija iz šestkotnih in trikotnih tlakovanj[uredi | uredi kodo]

Podobno kot obstoja osem uniformnih poliedrov obstoja tudi osem uniformnih tlakovanj, ki imajo osnovo v pravilnem šestkotnem tlakovanju ali dualnem trikotnem tlakovanju.

Kadar narišemo ploščice tlakovanja obarvane rdeče na prvotnih stranskih ploskvah in rumeno na prvotnih ogliščih ter modro na prvotnih robovih, dobimo osem oblik. Samo sedem od njih pa je topološko različnih. Tako je prisekano trikotno tlakovanje topološko enakovredno šestkotnemu tlakovanju.

Wythoff 3 | 6 2 2 3 | 6 2 | 6 3 2 6 | 3 6 | 3 2 6 3 | 2 6 3 2 | | 6 3 2
Schläfli {6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h0{6,3} h1,2{6,3}
Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Slika
Slika oglišč
Uniform tiling 63-t0.png
6.6.6
Uniform tiling 63-t01.png
3.12.12
Uniform tiling 63-t1.png
3.6.3.6
Uniform tiling 63-t12.png
6.6.6
Uniform tiling 63-t2.png
{36}
Uniform tiling 63-t02.png
3.4.6.4
Uniform tiling 63-t012.png
4.6.12
Uniform tiling 63-snub.png
3.3.3.3.6
Uniform tiling 333-t1.png
(3.3)3
Uniform tiling 63-h12.png
3.3.3.3.3.3
Wythoff 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 | 3 3 3 3 | 3 3 3 3 | | 3 3 3
Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 10l.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 10l.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch 01l.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 01l.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
Slika
Slika oglišč
Uniform tiling 333-t0.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t01.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t1.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t12.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t2.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t02.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t012.png
6.6.6
Uniform tiling 333-snub.png
3.3.3.3.3.3

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]