Popolna potenca

Popolna potenca je v matematiki sestavljeno pozitivno celo število, ki se ob praštevilskem razcepu lahko zapiše z eno samo celoštevilsko potenco. $n\,$ je popolna potenca, če obstajata takšni naravni števili $m>1\,$ in $k>1\,$, da velja $m^{k}=n\,$. V tem primeru se $n\,$ imenuje popolna k-ta potenca.

Potenca je oblike $m^{k}\,$, le da pri popolni potenci za $k\,$ vedno velja $k>1\,$. Če je $k=2\,$, se potenca imenuje popolni kvadrat, pri $k=3\,$ pa popolni kub. Včasih število 1 tudi velja za popolno potenco ($1^{k}=1\,$ za poljubni $k\,$).

Prve popolne potence so (OEIS A072103):

• $1^{n}=1$
• $2^{2}=4$
• $2^{3}=8$
• $3^{2}=9$
• $2^{4}=4^{2}=16$
• $5^{2}=25$
• $3^{3}=27$
• $2^{5}=32$
• $6^{2}=36$
• $7^{2}=49$
• $2^{6}=4^{3}=8^{2}=64$
• $3^{4}=9^{2}=81$
• $10^{2}=100$
• ...

Prve popolne potence brez podvojitev so (OEIS A001597):

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, ...

Prve popolne potence z različnimi faktorizacijami so (OEIS A117453):

1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...

Vsote

Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1\!\,,$

kar se lahko dokaže kot sledi:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}=1\,.$

Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc p brez podvojitev je enaka (OEIS A072102):

$\sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)\left(1-\zeta (k)\right)\approx 0,874464368\dots$

kjer sta μ(k) Möbiusova funkcija in ζ(k) Riemannova funkcija zeta.

Po Eulerju je Goldbach dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(p−1) v množici popolnih potenc p, brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}-1}}\equiv \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.$

To dejstvo se včasih imenuje Goldbach-Eulerjev izrek.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Perfect Power«. MathWorld.