Popolna potenca

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Množice celih števil
glede na deljivost
Oblika razcepa:
praštevilo
sestavljeno
popolna potenca
močno
polpraštevilo
deljivo brez kvadrata
Ahilovo
Vsiljene vsote deliteljev:
popolno
skoraj popolno
navidezno popolno
mnogokratno popolno
hiperpopolno
enotno popolno
polpopolno
primitivno polpopolno
praktično
Števila z mnogo delitelji:
obilno
zelo obilno
nadobilno
izjemno obilno
zelo sestavljeno
izredno zelo sestavljeno
Drugo:
nezadostno
čudno
prijateljsko
tovariško
družabno
osamljeno
vzvišeno
s harmoničnimi delitelji
varčno
enakoštevčno
potratno
nedotakljivo
Glej tudi:
število deliteljev
delitelj
prafaktor
praštevilski razcep
faktorizacija

Popolna potenca je v matematiki sestavljeno pozitivno celo število, ki se ob praštevilskem razcepu lahko zapiše z eno samo celoštevilsko potenco. je popolna potenca, če obstajata takšni naravni števili in , da velja . V tem primeru se imenuje popolna k-ta potenca.

Potenca je oblike , le da pri popolni potenci za vedno velja . Če je , se potenca imenuje popolni kvadrat, pri pa popolni kub. Včasih število 1 tudi velja za popolno potenco ( za poljubni ).

Prve popolne potence so (OEIS A072103):

  • ...

Prve popolne potence brez podvojitev so (OEIS A001597):

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, ...

Prve popolne potence z različnimi faktorizacijami so (OEIS A117453):

1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...

Vsote[uredi | uredi kodo]

Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:

kar se lahko dokaže kot sledi:

Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc p brez podvojitev je enaka (OEIS A072102):

kjer sta μ(k) Möbiusova funkcija in ζ(k) Riemannova funkcija zeta.

Po Eulerju je Goldbach dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(p−1) v množici popolnih potenc p, brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:

To dejstvo se včasih imenuje Goldbach-Eulerjev izrek.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]