Heavisidova skočna funkcija
Heavisidova skóčna fúnkcija H, imenovana tudi enôtina stopníca, enôtska skóčna fúnkcija, oziroma ~ koráčna fúnkcija ali kar Heavisidova fúnkcija [hevisájdova ~], je nezvezna funkcija, ki ima vrednost 0 za negativne argumente in 1 za pozitivne. Skoraj nikoli ni pomembno kakšna vrednost se vzame za H(0), ker se večinoma uporablja kot verjetnostna porazdelitev.
Funkcija se uporablja v matematiki teorije upravljanja in analizi signalov za predstavitev signala, ki se v določenem času prižge in v takšnem stanju ostane neskončno dolgo. Funkcijo so poimenovali v čast angleškega matematika, fizika in elektrotehnika Oliverja Heavisida.
Funkcija je zbirna porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke, ki je skoraj gotovo enaka 0.
Heavisidova funkcija je primitivna funkcija Diracove funkcije δ: H′ = δ, kar se zapiše tudi kot:
čeprav ta razvoj ne velja (ali nima smisla) za x = 0, kar je odvisno od načina opredelitve pomena integralov za δ.
Nezvezna oblika
[uredi | uredi kodo]Določiti je moč tudi drugo obliko enotske skočne funkcije kot funkcijo diskretne spremenljivke n:
Nezvezno časovni enotski sunek je prva razlika nezvezno časovnega skoka:
Ta funkcija je zbirna vsota Kroneckerjeve delta:
kjer je:
nezvezna enotska sunkovna funkcija.
Analitični približki
[uredi | uredi kodo]Za gladko aproksimacijo skočne funkcije se lahko uporabi logistično funkcijo:
kjer večji k odgovarja ostremu prehodu v x = 0. Če vzamemo , enakost velja v limiti:
Za skočno funkcijo obstaja več drugih gladkih, analitičnih aproksimacij[1]. Na primer:
Ti približki konvergirajo po točkah k skočni funkciji, drugače pa te porazdelitve ne konvergirajo strogo k porazdelitvi delta. Posebej ima merljiva množica:
v porazdelitvi δ mero 0, njena mera pa se pri vsaki družini gladkih aproksimacij veča z naraščajočim k.
Predstavitve
[uredi | uredi kodo]Velikokrat je uporabna integralska oblika Heavisidove skočne funkcije:
H(0)
[uredi | uredi kodo]Vrednost funkcije v 0 se lahko določi kot H(0) = 0, H(0) = 1/2 ali H(0) = 1. H(0) = 1/2 je najbolj skladna izbira, saj najbolj poveča simetrijo funkcije in postane v celoti skladna s funkcijo predznaka . To vodi do bolj splošne definicije:
Da se zmanjša dvoumnost katero vrednost vzeti za H(0), se lahko uporabi indeks, ki označuje možno vrednost:
Primitivna funkcija in odvajanje
[uredi | uredi kodo]Primitivna funkcija Heavisidove skočne funkcije je nagibna funkcija:
Odvod Heavisidove skočne funkcije je Diracova funkcija δ:
Fourierova transformacija
[uredi | uredi kodo]Fourierova transformacija Heavisidove skočne funkcije je porazdelitev. Z izbiro konstant za definicijo Fourierove transformacije je:
Tukaj je treba člen obravnavati kot porazdelitev, kjer je testna funkcija Cauchyjeva glavna vrednost .
Glej tudi
[uredi | uredi kodo]- pravokotniška funkcija
- prehodna funkcija
- porazdelitev delta
- funkcija predznaka
- Laplaceova transformacija
Sklici
[uredi | uredi kodo]- ↑ »Heaviside Step Function«. (angleško)