Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Laplaceova transformácija [laplásova ~] je integralska transformacija , ki funkcijo iz časovnega prostora t preslika v frekvenčni prostor kompleksne spremenljivke s :
L
[
f
(
t
)
]
=
F
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[f\left(t\right)\right]=F\left(s\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f\left(t\right)\;dt.}
Kot je razvidno iz te enačbe, se za čase t<0 predpostavi f(t)=0 .
Laplaceova transformacija se imenuje v čast francoskega matematika , fizika in astronoma markiza Pierre-Simona de Laplacea , ki jo je razvil.
Transformacije nekaterih funkcij ter lastnosti Laplaceove transformacije so razvidne iz razpredelnice:
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle F(s)}
a
1
⋅
f
1
(
t
)
+
a
2
⋅
f
2
(
t
)
{\displaystyle a_{1}\cdot f_{1}\left(t\right)+a_{2}\cdot f_{2}\left(t\right)}
a
1
⋅
F
1
(
s
)
+
a
2
⋅
F
2
(
s
)
{\displaystyle a_{1}\cdot F_{1}\left(s\right)+a_{2}\cdot F_{2}\left(s\right)}
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta \left(t\right)}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
s
{\displaystyle {\frac {1}{s}}}
t
n
,
n
∈
N
{\displaystyle t^{n},n\in {\mathcal {N}}}
n
!
s
n
+
1
{\displaystyle {\frac {n!}{s^{n+1}}}}
t
α
,
α
∈
R
,
α
>
0
{\displaystyle t^{\alpha },\alpha \in {\mathcal {R}},\alpha >0}
Γ
(
α
+
1
)
s
α
+
1
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left(\alpha +1\right)}{s^{\alpha +1}}}}
e
−
a
t
{\displaystyle e^{-at}}
1
s
+
a
{\displaystyle {\frac {1}{s+a}}}
t
n
⋅
e
−
a
t
{\displaystyle t^{n}\cdot e^{-at}}
n
!
(
s
+
a
)
n
+
1
{\displaystyle {\frac {n!}{\left(s+a\right)^{n+1}}}}
sin
a
t
{\displaystyle \sin \,at}
a
(
s
2
+
a
2
)
{\displaystyle {\frac {a}{\left(s^{2}+a^{2}\right)}}}
cos
a
t
{\displaystyle \cos \,at}
s
(
s
2
+
a
2
)
{\displaystyle {\frac {s}{\left(s^{2}+a^{2}\right)}}}
sin
(
a
t
+
φ
)
{\displaystyle \sin \left(at+\varphi \right)}
s
⋅
sin
φ
+
a
⋅
cos
φ
(
s
2
+
a
2
)
{\displaystyle {\frac {s\cdot \sin \varphi +a\cdot \cos \varphi }{\left(s^{2}+a^{2}\right)}}}
sinh
a
t
{\displaystyle \sinh \,at}
a
(
s
2
−
a
2
)
{\displaystyle {\frac {a}{\left(s^{2}-a^{2}\right)}}}
cosh
a
t
{\displaystyle \cosh \,at}
s
(
s
2
−
a
2
)
{\displaystyle {\frac {s}{\left(s^{2}-a^{2}\right)}}}
f
(
a
t
)
{\displaystyle f\left(at\right)}
1
a
F
(
s
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)}
f
(
t
)
e
a
t
{\displaystyle f\left(t\right)e^{at}}
F
(
s
−
a
)
{\displaystyle F\left(s-a\right)}
f
(
t
−
a
)
{\displaystyle f\left(t-a\right)}
F
(
s
)
e
−
a
s
{\displaystyle F\left(s\right)e^{-as}}
∫
0
t
f
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle \int _{0}^{t}f\left(\tau \right)\!d\tau }
F
(
s
)
s
{\displaystyle {\frac {F\left(s\right)}{s}}}
∫
0
t
f
(
t
−
τ
)
g
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle \int _{0}^{t}f\left(t-\tau \right)g\left(\tau \right)\!d\tau }
F
(
s
)
G
(
s
)
{\displaystyle F\left(s\right)G\left(s\right)}
d
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {df\left(t\right)}{dt}}}
s
F
(
s
)
−
f
(
0
)
{\displaystyle sF\left(s\right)-f\left(0\right)}
d
n
f
(
t
)
d
t
n
{\displaystyle {\frac {d^{n}f\left(t\right)}{dt^{n}}}}
s
n
F
(
s
)
−
s
n
−
1
f
(
0
)
−
s
n
−
2
f
′
(
0
)
−
…
−
s
f
(
n
−
2
)
(
0
)
−
f
(
n
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle s^{n}F\left(s\right)-s^{n-1}f\left(0\right)-s^{n-2}f'\left(0\right)-\ldots -sf^{(n-2)}\left(0\right)-f^{(n-1)}\left(0\right)}
Laplaceovo transformacijo periodične funkcije s periodo T lahko izračunamo tudi takole:
F
(
s
)
=
∫
0
T
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
⋅
1
1
−
e
−
s
T
.
{\displaystyle F\left(s\right)=\int _{0}^{T}f\left(t\right)e^{-st}\!dt\cdot {\frac {1}{1-e^{-sT}}}.}
Inverzno Laplaceovo transformacijo lahko izračunamo z Bromwichevim integralom:
f
(
t
)
=
L
−
1
[
F
(
s
)
]
=
1
2
π
i
∫
γ
−
i
∞
γ
+
i
∞
e
s
t
F
(
s
)
d
s
.
{\displaystyle f\left(t\right)={\mathcal {L}}^{-1}\left[F\left(s\right)\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F\left(s\right)\!ds.}
V praksi največkrat tako časovno kot kompleksno frekvenčno funkcijo razstavimo na elemente iz razpredelnice in Laplaceovo oz. inverzno Laplaceovo transformacijo izvedemo s pomočjo njunih lastnosti in funkcij iz te razpredelnice.
Kot lahko opazimo v razpredelnici, lahko z Laplaceovo transformacijo, pretvorimo diferencialne enačbe in enačbe s funkcijami, kot so transcedentne funkcije , v algebrske in racionalne enačbe v frekvenčnem prostoru, kjer jih je mnogo enostavneje rešiti in nato z inverzno Laplaceovo transformacijo pretvoriti nazaj v časovni prostor.
Laplaceova transformacija se precej uporablja v teoriji sistemov, saj nam računanje konvolucijskega integrala, ki se tam precej uporablja, pretvori v produkt dveh funkcij. Poleg tega Laplaceovi transformi prenosnih funkcij sistemov povedo marsikatero lastnost sistema (npr. stabilnost ipd.)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[f\left(t\right)\right]=F\left(s\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f\left(t\right)\;dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fae5fa0a45b9e7100c51892faf0ede30f19575)
![{\displaystyle f\left(t\right)={\mathcal {L}}^{-1}\left[F\left(s\right)\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F\left(s\right)\!ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957d31c49a9eb36a507b476ad27a9ba5476be140)
