Deljenje z 0

Funkcija $y=1/x\!\,$. Ko se $x\!\,$ približuje 0 z desne, se $y\!\,$ približuje neskončnosti. Ko se $x\!\,$ približuje 0 z leve, se $y\!\,$ približuje negativni neskončnosti.

Deljenje z 0 je v matematiki deljenje, pri katerem je delitelj (imenovalec) enak nič. Takšno deljenje se lahko formalno izrazi kot ⁠a/0⁠, kjer je a deljenec (števec). V običajni aritmetiki izraz nima smisla, saj ne obstaja nobeno število, ki bi pri množenju z 0 dalo a (če se predpostavi a ≠ 0) in je tako deljenje z 0 nedoločeno. Ker je katerokoli število pri množenju z nič enako nič, je izraz ⁠0/0⁠ prav tako nedoločen; ko je v obliki limite, je v indeterminantni obliki. Skozi zgodovino je eden izmed najzgodnejših virov matematične nezmnožnosti določanja vrednosti izrazu ⁠a/0⁠ kritika Georgea Berkeleya infinitezimalnega računa iz leta 1734 v The Analyst ("duhovi zapuščenih vrednosti").

Obstajajo matematične strukture, kjer je ⁠a/0⁠ definiran za nek a, kot recimo na Riemannovi sferi in projektivno razširjeni realni premici, toda takšne strukture ne zadostijo niti normalnim pravilom aritmetike (aksiomom polja).

V računalništvu lahko zaradi deljenja z 0 nastane programska napaka. Od programerskega okolja in vrste števila (torej plavajoča vejica, celo število) je odvisen izpis: lahko izpiše pozitivno ali negativno neskončnost po standardu IEEE 754 za plavajočo vejico, lahko vrže izjeme, proizvede sporočilo napake, konča program, izpiše posebno vrednost NaN. ali se sesuje

Algebra

Štiri osnovne operacije  – seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje  – na naravnih številih povzročijo razne razširitve te množice. Če se želi na primer odšteti poljubno naravno število od drugega, se potrebuje novo razširitev množice naravnih števil, sedaj imenovano cela števila, kjer so vključena tudi negativna cela števila. Da pa bi se lahko delilo poljubni dve števili, je treba dobljeno množico še naprej razširiti v množico racionalnih števil. Ko se razširja nove in nove množice, je treba paziti, da "razširjene operacije" ne ustvarijo drugačnih rezultatov na istih starih številih. Drugače rečeno, ker deljenje z 0 nima pomena (je nedefinirano) v celih številih, mora to ostati resnično tudi takrat, ko se to množico razširi na realna ali kompleksna števila.

Ko se realnost števil razširi na več operacij, se spremeni tudi njihov pomen. Pri celih številih odštevanje ni več osnovna operacija, ampak samo prištevanje obratne vrednosti. Deljenje pri racionalnih številih ni več osnovna operacija, saj se jo lahko nadomesti z množenjem nekega števila. Ko se o tem bolje razmisli, se vprašanje iz "Zakaj se ne da deliti z nič?" spremeni v "Zakaj ne more imeti racionalno število imenovalca enakega nič?" Odgovor na to spremenjeno vprašanje vključuje vpogled v samo definicijo racionalnih števil.

V modernem načrtovanju polja realnih števil delujejo racionalna števila kot vmesni korak v razvoju, ki je osnovan na teoriji množic. Naravna števila (s številom nič) se najprej postavijo na aksiomih, kot so recimo Peanovi aksiomi, potem pa se to razširi na kolobar celih števil. Naslednji korak je definiranje racionalnih števil, ki se jih lahko definira le z množicami in prej definiranimi osnovnimi operacijami, ki so seštevanje, množenje in cela števila. Če se začne z množico urejenih parov celih števil, {(a, b)} kjer velja b ≠ 0, se lahko definira binarno operacijo na tej množici z (a, b) ≃ (c, d) če in samo če velja ad = bc. Ta relacija je ekvivalenčna relacija, njeni ekvivalenčni razredi pa so racionalna števila. V formalnem dokazu je navedeno, da je to ekvivalenčna relacija s pogojem, da druga koordinata ni enaka nič (za pogojevanje tranzitivnosti).

Zgornja razlaga je za veliko uporab preveč abstraktna in tehnična, toda če bi se predpostavilo obstoj in lastnosti racionalnih števil, kot se običajno naredi v elementarni matematiki, je "razlog" za nedeljivost z 0 skrit. Lahko pa se poda (manj strogo) obliko razlage:

Iz lastnosti številskih sistemov, ki se jih uporablja (celih, racionalnih, realnih števil), za b ≠ 0 in ⁠a/b⁠ = c velja a = b × c. Če se predpostavi, da je ⁠a/0⁠ število c, potem bi moralo veljati a = 0 × c = 0. Toda število c bi se lahko potem določilo z enačbo 0 = 0 × c, ki ji zadosti vsako število, zato se izrazu ⁠0/0⁠ ne da določiti dejanske numerične vrednosti.

Deljenje kot inverz množenja

Koncept, ki pojasnu deljenje v algebri, je ta, da je deljenje inverz množenja. Na primer,

${\frac {6}{3}}=2\!\,$

saj je število 2 vrednost za neznano količino, da je enačba

${\displaystyle$ ?\times 3=6\!\,}

pravilna. Toda izraz

${\frac {6}{0}}=\,x\!\,$

želi imeti vrednost, ki bi zadostila enačbi

$x\times 0=6\!\,.$

Toda vsako število je pri množenju z 0 enako 0, zato ni tukaj nobenega števila, ki bi to enačbo rešilo.

Izraz

${\frac {0}{0}}=\,x\!\,$

potrebuje vrednost v enačbi

$x\times 0=0\!\,.$

Tudi tukaj je vsako število pomnoženo z 0 enako 0, zato tukaj vedno vsako število reši enačbo namesto enega končnega rezultata, ki bi se ga lahko upoštevalo kot vrednost izraza 0/0.

Na kratko, ne da se določiti ene vrednosti ulomku, katerega imenovalec je enak 0, zato je vrednost nedefinirana.

Matematične zmote

Velik razlog, da se ne dovoli deljenja z 0, je ta, da bi pri dovoljenju deljenja nastalo veliko absurdnih rezultatov (matematičnih zmot). Ko se dela z numeričnimi količinami, je enostavno videti, kdaj se naredi ilegalni poskus, da bi se delilo z 0. Sledi naskednji izračun.

S predpostavkama:

${\begin{aligned}0\times 1&=0,\\0\times 2&=0,\end{aligned}}$

velja tudi sledeče:

$0\times 1=0\times 2\!\,.$

Če se deli obe strani z 0, se dobi:

${\begin{aligned}{\frac {0\times 1}{0}}&={\frac {0\times 2}{0}}\\[6px]{\frac {0}{0}}\times 1&={\frac {0}{0}}\times 2.\end{aligned}}$

Če se poenostavi, se dobi:

$1=2\!\,.$

Tukajšnja zmota je predpostavka, da je deljenje 0 z 0 pravilna operacija z enakimi lastnostmi kot deljenje z drugimi števili.

Možno pa je, da se prikrito uporabi deljenje z 0 v algebraičnem argumentu, iz česar sledijo neveljavni dokazi, kot recimo 1 = 2:

Naj bo 1 = x.

Množi se z x, da se dobi

$x=x^{2}\!\,.$

Odšteje se 1 z obeh strani, da se dobi

$x-1=x^{2}-1\!\,.$

Deli se obe strani z x − 1

${\begin{aligned}{\frac {x-1}{x-1}}&={\frac {x^{2}-1}{x-1}}\\[6pt]&={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}},\end{aligned}}$

kar se poenostavi v

$1=x+1\!\,.$

Ker velja x = 1, se dobi

$1=1+1=2\!\,.$

Tukaj se zmota zgodi, ker se je delilo z x − 1 = 0, ko je veljalo x = 1.

Zgodovinski spodrsljaji

• 21. septembra 1997 je deljenje z 0 v sistemu "Remote Data Base Manager" na krovu ladje USS Yorktown (CG-48) zrušilo vse naprave v omrežju, kar je povzročilo padec celotnega omrežja.

Glej tudi

• asimptota
• definirano in nedefinirano
• Division by Zero, kratka zgodba Teda Chianga
• indeterminantna oblika
• delitelj niča

Viri

• Bunch, Bryan (1997) [1982], Mathematical Fallacies and Paradoxes, Dover, ISBN 978-0-486-29664-7
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint / Arithmetic, Algebra, Analysis, prevod: Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (3. izd.), Dover
• Hamilton, A. G. (1982), Numbers, Sets, and Axioms, Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
• Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J.; Walsh, Michael J. (2012), Retracing Elementary Mathematics, Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
• Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.). This book is in print and readily available. Suppes's §8.5 The Problem of Division by Zero begins this way: "That everything is not for the best in this best of all possible worlds, even in mathematics, is well illustrated by the vexing problem of defining the operation of division in the elementary theory of arithmetic" (p. 163). In his §8.7 Five Approaches to Division by Zero he remarks that "...there is no uniformly satisfactory solution" (p. 166)
• Schumacher, Carol (1996), Chapter Zero : Fundamental Notions of Abstract Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0-14-029647-6 (pbk.). This award-winning book is very accessible. Along with the fascinating history of (for some) an abhorrent notion and others a cultural asset, describes how zero is misapplied with respect to multiplication and division.
• Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.). Tarski's §53 Definitions whose definiendum contains the identity sign discusses how mistakes are made (at least with respect to zero). He ends his chapter "(A discussion of this rather difficult problem [exactly one number satisfying a definiens] will be omitted here.*)" (p. 183). The * points to Exercise #24 (p. 189) wherein he asks for a proof of the following: "In section 53, the definition of the number '0' was stated by way of an example. To be certain this definition does not lead to a contradiction, it should be preceded by the following theorem: There exists exactly one number x such that, for any number y, one has: y + x = y"

Nadaljnje branje

 

• Jakub Czajko (July 2004) "Predloga:Doi-inline", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.
• Ben Goldacre (7. december 2006). »Maths Professor Divides By Zero, Says BBC«.
• To Continue with Continuity Arhivirano 2019-09-21 na Wayback Machine. Metaphysica 6, pp. 91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.